Matematicas

NUMEROS COMPLEJOS
El campo de los números complejos
es el conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)
con a y b números reales y donde las operaciones de suma y multiplicación se definen así:

(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d )
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , ad  bc)
No es difícil verificar que el conjunto de los números complejos
anteriores cumple la siguiente definición:

con lasoperaciones

Un campo (K, +, ) es un conjunto K con las operaciones + (llamada suma) y  (llamada
multiplicación) que satisfacen las siguientes propiedades:
A1. (Clausura para la suma)
Para todo x, y,  K, x + y está definido y es un elemento de K.
A2. (Conmutativa para la suma)
x +y =y+x

para todo x, y K.

A3. (Asociativa para la suma)
x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, zK.A4. (Existencia del idéntico aditivo)
Existe un elemento en K, notado como 0, tal que x + 0 = x para todo xK.
A5. (Existencia del inverso aditivo)
Para cada xK, existe un elemento en K, notado x , tal que x  (x)  0 .
M1. (Clausura para la multiplicación)
Para todo x, yK, x  y está definido y es un elemento de K.
M2. (Conmutativa para la multiplicación)
x y =yx

para todo x, yK.

M3. (Asociativa para la multiplicación)
x ( y  z) = (x  y) z

para todo x, y, z K.

M4. (Existencia del idéntico multiplicativo)
Existe un elemento en K, notado 1, tal que 1  0 y x 1 = x para todo xK.
M5. (Existencia del inverso multiplicativo) Para cada xK, tal que x  0, existe un
1

elemento en K, notado x 1 ( ó
D1. (Ley distributiva)

1
), tal que x  (x 1 )  1 .x

x  (y + z) = (x  y) + (x  z)

para todo x, y, z K.

En principio, se enfatiza que las operaciones + y  en la definición anterior podrían ser
cualquier tipo de operaciones que satisfacen las condiciones requeridas. Sin embargo, los
ejemplos principales ( , , ) y ( ( , , ) trabajan con las operaciones usuales.
Otros ejemplos de campo algebraico son ( , , ) los reales, ( , ,) los racionales. Los
1
enteros ( , , ) NO son un campo ya que si n  2 su inverso n 1   . El hecho
2
esencial aquí acerca de un campo, es que éste es un conjunto de elementos que se pueden
sumar y multiplicar, de tal forma que las operaciones de adición y multiplicación satisfacen
las reglas ordinarias de la aritmética y, por otro lado se pueden dividir por elementos
distintos de cero.Los elementos de K se llamarán escalares
Notaremos el complejo (a, b) como z  (a, b) . Y el real a como el complejo (a,0) , esto
es, a  (a,0) . En efecto, el mapeo de a  (a,0) define un isomorfismo de campo de
hacia , de ahí que podamos considerar los
como subconjunto de .
Desde el punto de vista geométrico, los números complejos
pueden considerarse como
puntos del plano complejo debidoa la correspondencia uno a uno y sobre entre
y el
plano cartesiano (denominado plano z ó plano complejo) con coordenadas rectangulares
x, y . Los números complejos de la forma (0, b) , b  0 llamados imaginarios puros se
corresponden con puntos del eje y (llamado eje imaginario) – ver figura 1.

a  (a,0)

z  (a, b)

(0, b)  b

z  (a, b)

(0,1)  i
a  (a,0)

Figura 1.Correspondencia entre
y el plano complejo z. Los números reales a son asociados con los
puntos (a,0) del eje real x y los números imaginarios con los puntos (0, b) del eje imaginario y. Es
importante resaltar que la identificación del número complejo como punto del plano es UNICA.

2

Los números a y b del complejo z  (a, b) son denominados parte real y parte imaginaria
de z y suelen notarsecomo:

Re( z )  a , Im( z )  b .
Definición: Dos números complejos z1 y z2 son iguales si solo si

Re( z1 )  Re( z2 ) y Im( z1 )  Im( z2 )
En otras palabras, z1  z2 significa que z1 y z2 corresponden al mismo punto del plano
complejo.
Nótese como, las operaciones de suma y multiplicación definidas en
restringen a
se convierten en las operaciones usuales de los reales:

cuando...