matematicas

Departamento de Matem´ticas
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Matem´ticas I
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Grado en Ingenier´ Civil
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Curso 2011-12
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Mas problemas de optimizacion

Ejercicio 16. Se dispone de un alambre de longitud L = 4m parahacer una circunferencia y un cuadrado.
¿C´mo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de sus ´reas sea m´xima? ¿Cu´ndo
o
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es m´
ınima?
Ejercicio 17. Calcular lalongitud que deben tener los lados de un rect´ngulo inscrito en una circunfera
encia de radio 4 m. para que el ´rea de dicho rect´ngulo sea m´xima:
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Ejercicio 18. Una ventana tiene forma derect´ngulo terminado por un semic´
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ırculo de di´metro igual
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a la base del rect´ngulo. El per´
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ımetro externo de la ventana ha de tener longitud de 8 m: Hallar las
dimensiones de la ventana quedeja pasar mayor cantidad de luz.
Ejercicio 19. Una l´mina met´lica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m. de largo. Se quiere cortar
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cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la piezamet´lica resultante y soldarla para formar
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una caja sin tapa. ¿ C´mo ha de hacerse para obtener una caja del m´ximo volumen posible?
o
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Ejercicio 20. Se desea hacer una lata cil´
ındrica de40 cm3. de capacidad. El material del fondo y de
la tapa es dos veces m´s caro que el del lateral. Hallar el lado y la altura de la lata que resulte m´s
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econ´mica.
o
Ejercicio 21. Se deseahacer una lata cil´
ındrica de 48π cm3 de capacidad. El precio del material del
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lateral de la lata es de c euros/cm , mientras que el precio del fondo y de la tapa es el triple. Queremos
calcularlas dimensiones de la lata m´s econ´mica. Para ello:
a
o
a) Obt´n razonadamente la funci´n que da el coste de la lata en funci´n del radio x de la base.
e
o
o
b) Si has realizado correctamenteel apartado a), la funci´n coste para c = 1 es
o
C(x) = 6πx2 +

96π
.
x

¿Cu´l es el radio y la altura que dan el m´
a
ınimo coste?
Ejercicio 22. Del polinomio p(x) = x2 + ax + b se...