matematicas
Integrales de Superficies para Campos Vectoriales
Actividad 1
∧
∫∫ F ⋅ n dS
Calcule
donde f ( x, y, z ) = ( x + z 2 )i − ( z + 3)k
y S la superficie del
S
∧paraboloide 2 z = x 2 + y 2 limitada por z = 2 ( n es la normal unitaria hacia arriba en
S ).
Actividad 2
Calcule el flujo del campo vectorial F = ( x 2 y , 2 xz , yz 3 ) a través de lasuperficie del
sólido rectangular S que corresponde a un paralelepípedo dado por:
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3.
Actividad 3
Sea
S la superficie que encierra a la región limitada por z = 9 − x2 − y 2
z = 1 + x + y . Calcule, directamente como integral de superficie,
2
2
∫∫ F ⋅ d S
y
donde
S
F ( x, y , z ) = ( x, y , z ) .
Actividad 4
Plantee la(s) integral (es)dobles que permita(n) calcular la integral de superficie
∫∫ F
S
donde F es el campo vectorial definido por F ( x, y , z ) = ( x − y , x + z , y + z ) y S es la
superficie que encierra a laregión limitada por el plano z = 0 y z = 2 − x 2 − y 2 .
Actividad 5
∧
∧
∧
Calcule el flujo del campo vectorial F ( x, y ) = xy 2 i + x 2 y j + xy k a través de la
superficie lateral S queresulta de cortar el paraboloide z = 2 − x 2 − y 2 por los planos
z = 0 y z = 1.
Sergio Yansen Núñez
Resolución
Actividad 1
∧
∫∫ F ⋅ n dS = ∫∫ F ( x, y, z ( x, y )) ⋅ ndxdy
S
Ddonde n = (− x , − y ,1) y D = {( x, y ) ∈ IR 2 / x 2 + y 2 ≤ 4}
x2 + y2
F ⋅ n dS = ∫∫ x +
∫∫
2
S
D
∧
2
x2 + y2
, 0 , −
2
x2 + y2
= ∫∫ x +
2
D
2
− 3 • (− x , − y ,1)dxdy
2
2
( − x ) − x + y
2
− 3 dxdy
2π 2
r5 r2
= − ∫ ∫ r 2 cos 2 θ + cos θ
+
+ 3 rdrdθ = −20π
4
2
0 0
Sergio Yansen Núñez
Actividad 2
Los cálculos serán resumidos en la siguiente tabla:
Cara
n
F ⋅n
∫∫ F ⋅ ndS
cara...
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