Matematicas

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
ONEM 2013
EL 2013 PRESENTE EN LAS OLIMPIADAS DE MATEMÁTICAS
En diversas Olimpiadas de Matemáticas como:
dígitos 8 y 9. Si sabemos que N es múltiplo de
28, halla el menor valor que puede tener la suma
La OLIMPIADA DE MAYO, CONO SUR,
de los dígitos de N.
CANGURO MATEMÁTICO, ONEM, etc. es
(A) 13
(B) 14
(C) 15
común encontrar problemas dondeintervienen el
(D) 6
(E) 7
año actual, como por ejemplo este año hubo una
gran variedad de problemas con “2013”.
6. Un número natural que usa solamente los dígitos
0 y 1 en su escritura es llamado binario. Por
¿Qué propiedades tiene número 2013?
ejemplo, los números 10, 100, 1001, 1000100 (y
muchos otros más) son binarios. ¿Cómo mínimo,
PROBLEMAS
cuántos números binarios se necesita siqueremos que su suma sea 2013
1. El número 2013 se puede expresar como el
(A) 2
(B) 3
(C) 4
producto de tres números primos. Halla la
(D) 5
(E) 204
diferencia entre el mayor y el menor de esos
números primos.
7. Todos los números de 4 dígitos que usan los
(A) 9
(B) 41
(C) 50
mismos dígitos que el número 2013 se escriben
(D) 54
(E) 58
en una pizarra, en fila y en orden creciente.
¿Cuáles la mayor diferencia entre dos números
2. El día de hoy Juan y su hijo están celebrando el
que están juntos en la fila?
cumpleaños de ambos. Juan multiplicó su edad
(A) 702
(B) 703
(C) 693
por la de su hijo y obtuvo 2013. ¿En qué año
(D) 793
(E) 698
nació Juan? (Considere que el año actual es
2013.)
(A) 1980
(D) 1952

(B) 1982
(C) 1953
(E) Se necesita más información.

3.Después del 1 de enero de 2013, ¿cuántos años
tiene que pasar como mínimo para que el
siguiente evento ocurra: (El producto de los
dígitos del año sea mayor que la suma de esos
dígitos)?
(A) 87
(B) 98
(C) 101
(D) 102
(E) 103
4. ¿Cuántos enteros positivos son múltiplos de
2013 y tienen exactamente 2013 divisores
(incluyendo al 1 y al mismo número)?
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 6
(E) Más de 65. Si al número 2013 se le agregan dos dígitos, uno
la izquierda y otro a la derecha, se forma un
número N de seis dígitos. Por ejemplo,
obtenemos el número 820139 si agregamos los

8. Empezando con una lista de tres números, un
proceso consiste en crear una nueva lista de tres
números reemplazando cada número por la
suma de los otros dos. Por ejemplo, al aplicar el
proceso descrito a{3, 4, 6}, obtenemos {10, 9, 7}
y al aplicar nuevamente el proceso, obtenemos
{16, 17, 19}. Si empezamos con la lista {20, 1, 3},
¿cuál es la mayor diferencia entre dos números
de la lista que se obtiene al aplicar 2013
procesos seguidos?
(A) 1
(B) 2
(C) 17
(D) 19
(E) 2013
9. Había 2013 habitantes en una isla. Algunos de
ellos son caballeros y los otros son villanos. Los
caballerossiempre dicen la verdad y los villanos
siempre mienten. Cada día uno de los habitantes
dice: (Después de que me vaya, el número de
caballeros en la isla será igual al número de
villanos) y luego se va de la isla. Después de
2013 días, no queda ningún habitante en la isla.
¿Cuántos villanos había inicialmente?
(A) 0
(B) 1006
(C) 1007

(D) 2013

15. Sean A > B > C tres divisores delnúmero
P = 2013x2014 tales que A + B + C es un

(E) No se puede determinar

10. Sea S la cantidad de cuadrados perfectos que

hay en el conjunto 1,2,3,...,2013  y sea Q la
cantidad de cubos perfectos que hay en ese
mismo conjunto. Entonces:
(A) S = Q
(B) 2S = 3Q
(C) 3S = 2Q
3 = Q2
(D) S = 2013Q (E) S

múltiplo de P. Halla

6

11. Una sucesión empieza así: 1, −1, −1, 1, −1.
Despuésdel quinto término, cada término es
igual al producto de los dos términos anteriores.
Por ejemplo, el sexto término es igual al producto
del cuarto y quinto término. ¿Cuál es la suma de
los primeros 2013 términos?
(A) −1007
(B) −671
(C) 0
(D) 671
(E) 1007
12. El año 2013 tiene la propiedad de estar formado
por cuatro dígitos consecutivos: 0, 1, 2 y 3.
¿Cuántos años han pasado desde...