Matematicas

Matemáticas I
Transparencias Tema 1: Dominios
Grado de Ingeniería Mecánica

DEFINICIÓN DE DOMINIOS.
Función real de una variable real es una aplicación que asocia a
cada elemento de A⊆ R un número real.

f : A⊆ R →R
x

→ f(x)

Dominio de f dom (f) ={x A : f(x) R }⊆ A
Imagen de f
Img(f)={y R : ∃ x dom(f) con y= f(x) }

Ejemplo 1:
Sea 𝑓 ( 𝑥 ) = √ 𝑥
dom (f) ={x R : √ 𝑥 R },por tanto
necesitamos que x sea un número positivo o igual a cero,
dom (f) ={x R : x≥0}= [0, +∞[.
Img(f)={y R : ∃ x[0, +∞[ con y=√ 𝑥 }=[0, +∞[.
Gráfica de 𝑓 ( 𝑥 ) = √ 𝑥
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5

1

2

3

4

5

6

7

1

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Ejemplo 2:
Sea 𝑓 ( 𝑥 ) = √ 𝑥 + 1
dom (f) ={x R : √ 𝑥 + 1 R }, por tantonecesitamos que x+1 sea un número positivo o igual a cero,
𝑥 + 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −1
dom (f) ={x R : 𝑥 ≥ −1}= [-1, +∞[.
Img(f)={y R : ∃ x[-1, +∞[ con y=√ 𝑥 + 1 }=[0, +∞[.
Gráfica de 𝑓 ( 𝑥 ) = √ 𝑥 + 1
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5

2

4

6

PROPIEDADES
(i) Sean f y g dos funciones se definen las funciones suma,
producto por un escalar y producto como
(α f)(x)=α f(x)

dom(α f)=dom(f)

(f+ g)(x)=f(x)+g(x) dom(f+g)=dom(f)∩ dom(g)
(f⋅g)(x)=f(x)⋅ g(x) dom(f⋅g)=dom(f)∩ dom(g)

2

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Ejemplo 3:
Sea ℎ( 𝑥 ) = √ 𝑥 + √ 𝑥 + 1

h(x)=f(x)+g(x)
dom(h)=dom(f)∩ dom(g)
dom (f) ={x R : x≥0}= [0, +∞[.
dom (g) ={x R : 𝑥 ≥ −1}= [-1, +∞[.
La intersección es [0, +∞[, por tanto dom(h)= [0, +∞[.
Gráfica de ℎ( 𝑥) = √ 𝑥 + √ 𝑥 + 1
5

4

3

2

2

4

6

(ii) Si tenemos una función f se define el inverso o recíproco de
la función f como
1
1
(x)=
f
f(x)
dom(1/f)={x∈dom(f):f(x)≠0}
(denominador definido y no nulo)
Ejemplo 4:
1
Sea 𝑔( 𝑥 ) =
dom (g) ={x dom(f) : 𝑥 + 1 ≠ 0 }, por tanto
𝑥+1
necesitamos que x≠-1
dom (f) ={x R : 𝑥 + 1  R }= R
dom(g) ={x R : 𝑥 + 1 ≠ 0 }= R -{-1}, esdecir, el denominador
tiene que estar definido y además ser no nulo
Gráfica de 𝑔( 𝑥 ) =

1

𝑥+1

1.5
1.0
0.5

6

4

2

2

4

6

0.5
1.0
1.5

3

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(iii) Sean f y g dos funciones se define la función cociente de f y g
como

f
1
f(x)
= f ( x ).
(x)=
g
g( x )
g( x )
dom(f/g)=dom(f)∩ dom(1/g)
Sea ℎ( 𝑥 ) =
Ejemplo 5:

(definida f, definida g y g(x) no nula)
=

√ 𝑥+2
𝑥+1

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

dom (g) ={x R : 𝑥 + 1  R }= R
y además el denominador tiene que ser no nulo, x≠-1.
Por tanto, intersecando las tres condiciones,
dom(h) ={x R : x≥-2 ; x≠-1}= [-2, -1[]-1,+∞[.

Gráfica de ℎ( 𝑥 ) =

dom (f) ={x R : x≥-2}= [-2, +∞[.

√ 𝑥+2
𝑥+1

8
6
4
2
2

24

6

2
4
6

(iv) Sean f y g dos funciones se define la función composición de f
con g y se escribe f° g como
(f° g)(x)=f(g(x))
x

g

g(x)

f

f(g(x)

f g= f(g(x))

°

dom(f° g)={x∈dom(g):g(x)∈dom(f)}
Notar que en general f° g ≠ g° f
4

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Sea ℎ( 𝑥 ) = �
Ejemplo 4:

1

𝑥−2

= 𝑓�𝑔(𝑥 )� ;

𝑔( 𝑥 ) =

1
→
𝑥−2

𝑥 →

�

1

𝑥−2

1
𝑥−2

;

𝑓( 𝑥) = √ 𝑥

dom(g) ={x R : 𝑥 − 2 ≠ 0 }= R -{2}, es decir, el denominador
tiene que estar definido y además ser no nulo.
dom (f) = [0, +∞[ ( la raíz cuadrada de * está definida si * ≥0),
1
debo exigir que g(x)∈dom(f), debo exigir que
∈ [0, � �,
� �
� +∞[
dom(f° g)={x∈dom(g):g(x)∈dom(f)}

luego además de quex≠2, se requiere que
0 ⇔ 𝑥 ≥ 2 y como x≠2, resulta x > 2.
Por tanto dom(f° g)=]2, +∞[.
Resumiendo, ℎ( 𝑥 ) = �

1

𝑥−2

1

𝑥−2

𝑥−2

𝑑𝑜𝑚(𝑓)

≥0⇔ 𝑥−2≥

está definida si el radicando está

definido y dicho radicando es ≥0.
(v) Las funciones ax con a>0 (funciones exponenciales página 41 del trabajo
académico_1), senx, cosx (funciones trigonométricas página 740 del trabajo...