Matematicas

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a
un número real positivo.


En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.

X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | -0.5 |
Y | 0.125 | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 4 | 8 | -2 |

* El dominio son todos los
reales y el recorrido son los reales positivos.

* Es continua.

* Si a>1 la función escreciente y si 0<a<1 es
decreciente.

* Corta al eje OY en (0,1).

* El eje OX es asíntota.

* La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.
En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la
gráfica al variar a.

Observa que las gráficas de y=ax y de y=(1/a)x=a-x
son simétricas respecto del eje OY.



En las gráficas de la izquierda se puede vercomo al multiplicar por una constante y=k·ax el punto de corte con el eje OY es (0,k).

Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y=b.


En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr?
Crecimiento exponencialLa función exponencial se presenta en multitud de
fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico,
etc. En todos ellos la variable es el tiempo.

Peso inicial: 3 gr
Crecimiento: por 2

x f(x)
0 3·1=3
1 3·2=6
2 3·4=12
3 3·8=24
4 3·16=32
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se
obtiene multiplicando el valor anterior por unacantidad
constante a.
Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo
transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en
cada unidad de tiempo.

Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.

Aplicaciones

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento
(o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo seaproporcional a lo que había al comienzo del mismo. A continuación se ven dos aplicaciones:

Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%.

¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años?

P = 600 . 1.038 ≈ 760

* Crecimiento de poblaciones

El crecimiento vegetativo de una población viene dado
por la diferencia entre nacimientos y defunciones.

Si inicialmentepartimos de una población P0, que tiene
un índice de crecimiento i (considerado en tanto por 1),
al cabo de t años se habrá convertido en

P=P0 · (1+i)t

* Desintegración radiactiva
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000.

• La función es:

M(x) = 20 . 0,5 x/28= 20 . 0,9755x

• En el año 2053quedará:

M = 20 . 0,975553 = 5,38 gr

Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del
tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va
quedando a lo largo del tiempo viene dada por:

M=M0·at M0 es la masa inicial,
0<a<1 es una constante que
depende de la sustancia y de la
unidad de tiempo que tomemos.

La rapidez de desintegración de las sustanciasradiactivas
Se mide por el “periodo de desintegración” que es el
tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.

Funciones Logarítmicas

La función inversa de la exponencial

Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función
inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la
figura adjunta se puede ver la inversa de la función
exponencial.

Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenidolo
llamamos y o f(x). La función inversa de la
exponencial es la que cumple que g(y)=x.

Esta función se llama función logarítmica y, como
puedes observar, es simétrica de la función
exponencial con respecto a la bisectriz del primer y
tercer cuadrantes.

La función logarítmica

Es la función inversa de la función exponencial y se
denota de la siguiente manera:

y = logax, con...