Matematicas

1. Determine para qué valores de k ∈R, el sistema no tiene solución real.

x-ky=1
2x-3y=7

Solución: (usando matrices) A=(■(1&-k@2&-3)) debe ser invertible. Si analizamos sudeterminante:

detA=-3+2k

Luego, para que sea invertible detA≠0 .Luego, k≠3/2

(sin matrices) Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tendremos el sistema:
2x-2ky=22x-3y=7

Si restamos la primera ecuación a la segunda, tendremos que:
-3y+2ky=5
Esto se puede resolver si y sólo si k≠3/2

Así, el sistema tiene solución para k∈R-{3/2}2. Determine para qué valores de a ∈R , el sistema tiene infinitas soluciones.

(1-a)x+2y=2
2x+(1-a)y=3


Y luego, para el valor de a que determinó en el puntoanterior identifique estas soluciones.

Solución: Para que el sistema tenga infinitas soluciones, las dos rectas en el sistema de ecuaciones deben ser la misma (pues si dos rectas seintersectan en más de un punto, entonces son la misma recta). Si reescribimos el sistema:

2(1-a)x+4y=4
2(1-a)x+(1-a)^2 y=3(1-a)

Restando la primera ecuación a la segunda,tenemos que:

y((1-a)^2-4)=3(1-a)-4
y(1-a+2)(1-a-2)=-1-3a
y(3-a)(-1-a)=-1-3a

De aquí podemos notar que, para cualquier valor de a, distinto de 3 y -1, el sistema de ecuacionestiene una única solución.








3. Resuelva el sistema. x+y=1
x-y=2


Y, luego, verifique que lasolución es correcta.

Solución: Sumando ambas ecuaciones, tenemos que:
2x=3
Luego, x=3/2

Reemplazando en la primera ecuación: 3/2+y=1⇒y=(-1)/2

Por lo tanto, la solución delsistema es (3/2,-1/2). Ahora, si reemplazamos en la segunda ecuación para verificar si la solución es correcta:
3/2+1/2=4/2=2

Por lo tanto, la solución que encontramos es correcta.