Matematicas



PROPIEDADES DE DISTRIBUCION


DISTRIBUCION BINOMIAL

Definicion:
Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que seutiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.

Propiedades:

- La muestra se compone de un numero de observaciones n
- Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos(uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.
- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas lasobservaciones.
- La variable aleatoria binomial tiene rango de 0 a n

Ecuación:


p(x)= \frac{n!}{x!(n-x)!}(p^x)(1-p)^n-x




Donde:

P(x) =Probabilidad de X éxitos, dadas n y p
n= Número de observaciones
p= Probabilidad de éxitos
1-p= Probabilidad de fracasos
x= Número de éxitos en la muestra ( X = 0, 1, 2, 3, 4,……… n )

Media de la distribución binomialLa media de la distribución binomial es igual a la multiplicación del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito p

\mu=np



v) Desviación estándar de la distribución binomial



\sigma=\sqrt[2]{ \sigma}=\sqrt[2]{np(1-p)}



Ejemplos ilustrativos

1) Determine P(X = 8) para n = 10 y p = 0,5

Solución:

Aplicando la ecuación se obtiene:p(x=8)=\frac{10!}{8!(10-8)!}{0.5^8}(1-0.5)^(10-8)


p(x=8)=45\cdot{0.003906}\cdot{0.25}=0.0439


En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se escribe los datos y se inserta la función DISTR.BINOM.N como se muestra en la siguiente figura:



b) Clic en Aceptar. Los argumentos de la función escribir como se muestra en la figura:





c) Clic en Aceptar






2. Determinar P (X ≤ 3) para n =4 yp = 0,45

Solución:
p(x\leq3)= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)

Se puede aplicar la ecuación para cada probabilidad, pero para ahorrar tiempo se recomienda encontrar las probabilidades con lectura en la tabla de probabilidades binomiales.



Realizando la lectura en la tabla de P(X=0) con n=4 y p = 0,45 se obtiene 0,0915.
Continuando con la respectivaslecturas en la tabla se obtiene: 0,2995 para P(X=1), 0,3675 para P(X=2) y 0,2005 para P(X=3).

Por lo tanto

P(x\leq3)= 0.9515+0.2995+0.3675+0.2005=0.9590

Los calculos realizados en excel se muestran en la siguiente figura:











DISTRIBUCION DE POISSON


Introducción.- Muchos estudios se basan en el conteo de las veces que se presenta unevento dentro de un área de oportunidad dada. El área de oportunidad es una unidad continua o intervalo de tiempo o espacio (volumen o área) en donde se puede presentar más de un evento. Algunos ejemplos serían los defectos en la superficie de un refrigerador, el número fallas de la red en un día, o el número de pulgas que tiene un perro. Cuando se tiene un área de oportunidad como éstas, seutiliza la distribución de Poisson para calcular las probabilidades si:

- Le interesa contar las veces que se presenta un evento en particular dentro de un área de oportunidad determinada. El área de oportunidad se define por tiempo, extensión, área, volumen, etc.
- La probabilidad de que un evento se presente en un área de oportunidad dada es igual para todas las áreas de oportunidad.
- El...