Espacio vectorial

Campo conservativo
En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como laórbita de un planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para una fuerza de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos de energía potencial) de la ley de conservación dela energía. Las fuerzas que dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana. Las fuerzas dependientesdel tiempo o de la velocidad (por ejemplo, la fricción o rozamiento) son típicamente no conservativas. La mayoría de sistemas físicos fuera del equilibrio termodinámico son no-conservativos; en ellosla energía se disipa por procesos análogos al rozamiento.
Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá lasotras ya que matemáticamente son equivalentes):
Hay un campo escalar  con:
Donde  es el gradiente del campo escalar V(r).
El trabajo

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo defuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

El campo es simplemente continuo y cumple la condiciónde integrabilidad:
.
Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará 



Cuando se considera el criterio se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, perola rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:

Aunque la condición integral se cumple, no existela derivada en el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no se trata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario...