Matematicas

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O Teorema de Tales
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Introdução

ciência, tão fundamental na era moderna, teve seu início por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, Grécia, especialmente com de Tales de Mileto. Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Não se sabe ao certo em que ano morreu. Foi ele quemprimeiro chamou a atenção para o aspecto abstrato dos objetos geométricos, ao considerar um triângulo ou uma pirâmide, por exemplo, não como coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nosso pensamento. Uma de suas descobertas no campo filosófico foi a de que “não apenas os homens estão sujeitos a leis, mas também a Natureza”. E apontando para a sombra dos degraus de um estádiodesportivo, teria dito: “Os ângulos dos degraus obedecem a uma lei: são todos iguais”. (Depois veremos esse exemplo com maiores detalhes.) Assim, uma das idéias deste grande filósofo e matemático é esta: uma lei que se aplique a triângulos vale tanto para triângulos de construção (por exemplo, a construção de uma casa) como para aqueles desenhados (a planta da casa) e mesmo paratriângulos...“imaginários”, como ele se referia aos triângulos abstratos, os do nosso pensamento, aqueles com que de fato lida a geometria.

Outra importantíssima característica do pensamento de Tales é que estas leis matemáticas - ou teoremas , como são chamadas - devem ser provadas (ou demonstradas) por um raciocíonio lógico. (E não apenas explicadas com argumentos religiosos ou míticos, como se fazia até então emlugares antes mais desenvolvidos, como o Egito e a Babilônia.) Desse modo, Tales procurava sempre demonstrar cada uma de suas afirmações novas baseando-se em outras afirmações já demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raciocínio. Nesta aula você terá a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremas bastante interessantes e úteis na vida prática que são atribuídos a Tales,especialmente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales. Você ficará surpreso ao ver quantas aplicações diferentes existem destes teoremas: desde o cálculo da altura de prédios e outras distâncias inacessíveis (veja a aula 20) até o modo certo de aumentar a feijoada! Como veremos, tudo isso trata de proporcionalidade de números (ou regra de três ). Na realidade, o Teorema de Tales é“a figura da regra de três”. Mas... cada coisa a seu tempo! Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotes egípcios a explicar como “adivinhara” a altura de uma das pirâmides. Os sacerdotes acreditavam que essa informação era sagrada e havia sido inadvertidamente fornecida a ele, que, por esse motivo deveria ser preso. Tales explicou seu raciocínio exemplificando-o com ocálculo da altura de um obelisco cuja sombra era mais fácil de ser medida. Aqui está o problema para você tentar responder: Em certo momento do dia, uma vareta de 1 m, espetada verticalmente no chão, faz uma sombra que mede 20 cm. No mesmo instante, um obelisco de pedra, ali perto, faz uma sombra de 4 m. Qual a altura do obelisco?

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? 1 0,2 4

Atenção: como o Sol está muito longede nós, podemos considerar seus raios como retas paralelas. Tente encontrar o que se pede trabalhando com papel quadriculado e régua.

Ângulos opostos pelo vértice
Um dos teoremas atribuídos a Tales é muito simples de ser entendido concretamente: quando seguramos uma vareta de madeira em cada mão e cruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes. Independentemente da abertura quevocê dá às varetas, elas sempre formam, à sua esquerda e à direita, dois ângulos (opostos pelo vértice) iguais.

Nossa aula

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d a b c a c

Duas varetas formam 4 ângulos, opostos dois a dois

Quanto mede cada um destes dois ângulos opostos pelo vértice? ∃ a =.... ∃ c =....

Lembre: Como se mede um ângulo com transferidor:
70 80 50 60 40 45130 120 110 100 90 1 0...