matematicas

MATEMÁTICAS 2
Grado en Administración y Dirección de Empresas
CONTROL (BLOQUES 1 y 2)

Curso 2013-14

Nombre:
Solución propuesta por el profesor Dr. Luis José Blas Moreno Garrido

Aula: A1/0-24G
Hora: 11:00-13:00

Grupo 3

Instrucciones: No se permite el uso de calculadora ni de ningún dispositivo electrónico a excepción de traductores
para estudiantes extranjeros. El examen serealizará de forma individual y sin ningún tipo de material de apoyo. El
incumplimiento de estas normas supondrá la suspensión automática de la asignatura.
1) (2 puntos) Dada la matriz

1 2 0


A =  2 1 0
 0 0 2


a) Calcula sus valores propios.
Solución:
Para calcular los valores propios de la matriz A, calculamos el determinante de

λI − A

y lo igualamos a 0.

0
 λ 00   1 2 0  λ − 1 −2

 

0 =0
λ I − A =  0 λ 0  −  2 1 0  = −2 λ − 1
 0 0 λ  0 0 2
0
0
λ −2

 

Desarrollando por adjuntos por la última fila tenemos que

λ −1

−2
2
= ( λ − 2 ) ( λ − 1) − 4 = ( λ − 2 ) ( λ 2 − 2λ + 1) − 4 = ( λ − 2 ) ( λ 2 − 2λ − 3) = 0
−2 λ − 1
Una solución es λ = 2 y las otras dos salen de resolver la ecuación cuadrática.

( λ − 2)
2±( −2 )

2

(

− 4 ( −3)

)

(

)

2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4
=
=
= 1± 2
2
2
2
2
Por tanto los valores propios son ( -1,2,3)

λ=

=

b) Escribe la forma cuadrática asociada y estudia su signo usando los valores propios del apartado anterior.
Solución:
La forma cuadrática asociada a la matriz A es

q ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + 2 z 2 − 4 xy

Dado que tiene valorespropios positivos y negativos, la forma cuadrática es indefinida, es decir que toma valores
positivos y negativos. Por ejemplo

2) (2 puntos) Dada la función
a)

q (1, 0,1) = 3 > 0 y q (1,1, 0 ) = −2 < 0

f ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2 − 1) + 9 − x 2 − y 2 − 4 − x 2

Calcula y dibuja su dominio D.

Solución:
Para calcular el dominio, debemos tener en cuenta tres ecuaciones. La primera esque
contrario el logaritmo no estaría definido. La segunda es que 9 − x −
2

x 2 + y 2 − 1 > 0 ya que en caso

y 2 ≥ 0 , ya que en caso contrario la raíz

4 − x 2 ≥ 0 por el mismo motivo que la segunda ecuación.
D = {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 ≤ 9, x ≤ 2}

cuadrada no estaría definida. La tercera es que

1

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b) Razona si el dominio es un conjunto abierto, cerrado, acotado o compacto.
Solución:
El conjunto no es abierto ya que no todos sus puntos son interiores. Por ejemplo el punto (0.3) pertenece al conjunto
pero no es interior. También podríamos haber dicho que el conjunto no es abierto porque no coincide con su interior
(ver interior del conjunto Den el apartado c).
El conjunto no es cerrado ya que su complementario no es abierto, ya que por ejemplo el punto (0,1) pertenece el
complementario, pero no es interior al complementario. También podríamos haber dicho que el conjunto no es
cerrado porque no contiene a su frontera (ver frontera del conjunto D en el apartado d).
El conjunto es acotado ya que existe una bola que lo contiene. Porejemplo, el conjunto D está dentro de la bola de
centro (0,0) y radio 4.
El conjunto no es compacto, ya que no es cerrado.
c)

Define el interior del dominio.

Solución:

Int D = {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 < 9, x < 2}

d) Define la frontera del domino.
Solución:

Fr D = {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 ≤ 9, x ≤ 2} ∪

{( x, y ) ∈ ℝ
{( x, y ) ∈ ℝ

2
2: x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 = 9, x ≤ 2} ∪
: x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 ≤ 9, x = 2}

que podemos simplificar (quitando condiciones redundantes) a

Fr D = {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = 1} ∪ {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = 9, x ≤ 2} ∪ {( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 ≤ 9, x = 2}

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3) (2 puntos) Sea la función...