Matematicas

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS II SELECTIVIDAD 2000-2012 BLOQUE ANÁLISIS
 9 − x2 si x ≤ 3  f ( x) =  1.- Sea la función . − 2 x 2 + 16 x − 30 si x > 3 
a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos. c) Represéntela gráficamente. 2.- a) Dada la función f ( x) = ax 2 + bx , calcule a y b para que la función tenga un extremo relativoen el punto (1, 4).

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 2 g ( x ) = + Ln x en el punto de abscisa x = 1 . x
3.- a) Halle los valores de a y b para que la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + b tenga un extremo relativo en el punto (− 2, 3) . b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 3 − 4 x + 2 en su punto de inflexión. 4.- La temperatura T, engrados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión:

T (t ) = 40t − 10t 2

con 0 ≤ t ≤ 4.

a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza. b)¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? 5.- a)Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

 x 2 − 4 x + 7 si  f ( x) =  4 si   x−2 b) Calcule la derivada de g ( x ) = ( x + 1) ⋅ e 2 x +1 .
6.- a) Calcule la ecuación de la recta tangente a y =

x≤3 x>3 .

1 en el punto de abscisa x = 2. x −1 b) ¿En qué punto de la gráfica de la función f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 1 , la recta tangente es paralela a y = 3x − 5 ? c) Sea g ( x ) = 2x 2 − 8 x + a . Halle a para que el valor mínimo de g sea 3.

7.- De una función f se sabe que su función derivada es f ´( x ) = 3 x 2 − 9 x + 6. a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 8.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado) :3x − 1 − (5 x − x 2 ) 2 . x b) g ( x) = ( x 2 − 1) ⋅ Ln x.
a) f ( x ) = c) h( x) = 2 5 x . 9.- Sea la función f ( x) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x. a) Estudie la monotonía y calcule los extremos relativos de f. b) Estudie la curvatura y calcule el punto de inflexión de f. c) Represente gráficamente la función.

 si x < 1 x2  . 10.- Sea la función f ( x) =  2 − x + 4 x − 2 si x ≥ 1 
a) Analicesu continuidad y su derivabilidad. b) Estudie la monotonía, determine sus extremos y analice su curvatura. c) Represente la gráfica de la función. 11.- Sea la función f ( x) =

4x − 1 . 2x − 2

a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y represéntela gráficamente. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x ) en el punto de abscisa x = 0. 12.-a) Halle la función derivada de la función f ( x ) = Ln

 x   y simplifique el resultado.  x + 1 2x + 3 b) Obtenga las asíntotas de la función f ( x ) = . 3x − 1 3 c) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función f ( x ) = x 3 − x 2 . 2 a + bx 2 . Calcule los valores de los parámetros a y b para que f x

13.- a) Sea la función f (x) =

tenga un extremo relativo en elpunto (1, 3). b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( x) = x ⋅ Lnx en el punto de abscisa 1.

14.- Calcule las funciones derivadas de las siguientes:

e5x a) f (x) = 3 . x −1
c) h (x) = (x2 − 1)·(x3 + 2x ).

b) g ( x ) = 4 x ⋅ Ln (3 x + 1) .

d) p (x) =

x+2 . x−2

15.-Se considera la siguiente función:

 x−2 si x < −1  x   f (x) = − x 2 + asi − 1 ≤ x < 1 .   x+2 si 1≤ x  x 
a) Halle los valores de a para los que f es continua y derivable. b) Para a =4, halle las asíntotas y extremos relativos. 16.- Sea la función f (x ) =

1 3 x − x 2 − 3 x + 4. 3

a) Represente gráficamente su función derivada determinando los puntos de corte con el eje de abscisas y su vértice. b) Halle los puntos de la gráfica de f donde la recta...