matematicas

14/10/2014

TEMA 2: CÁLCULO

DIFERENCIAL E
INTEGRAL DE
FUNCIONES DE UNA
VARIABLE
Ana E. Marín Jiménez
Matemáticas
Curso 2013-2014

Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.1. Derivabilidad: interpretaciones y aplicaciones.
Definición: Sea
derivable en

0

: ∁ → . Sea
si
lim

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

h →0

h

∈

. Diremos que

es

=f ' ( x0 )

′
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
en el punto 0 .

Ecuación de la recta tangente

y − f ( x ) = f ' ( x0 )( x − x0 )

Observación: Si hacemos el cambio de variable

=

+ℎ

la definición anterior es equivalente a
lim

h → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

= f ' ( x0 )

Definición: Diremos que una función

es derivable si es

derivable entodos los puntos de su dominio.

1

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Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.1. Derivabilidad: interpretaciones y aplicaciones.
es derivable por la izquierda en

0

si existe la derivada por la

izquierda de la función
lim

h → 0−

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h

es derivable por la derecha en

= f − ' ( x0 )

0

si existe laderivada por la

derecha de la función
lim

h → 0+

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h

es derivable en 0 si y solo si
por la derecha y además

= f + ' ( x0 )

es derivable por la izquierda y

f − ' ( x0 ) = f + ' ( x0 ) = f ' ( x0 )

Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.1. Derivabilidad: interpretaciones y aplicaciones.
Relación entre continuidad yderivabilidad
Proposición: Si
0, entonces

Si
entonces

∈
es una función derivable en un punto
es continua en 0.

∈
es una función que no es continua en
no es derivable en 0.

Si no es derivable en
continua en 0.

0,

entonces

0,

puede o no ser

2

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Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.2. Derivadas de las funcioneselementales. Reglas
de derivación.
Derivadas de las funciones elementales
1. Función constante: f ( x ) = k ( k ∈ ℝ ) → f ' ( x ) = 0
2. Función identidad: f ( x ) = x → f ' ( x ) = 1

3. Función potencia: f ( x ) = x n ( n ∈ ℝ ) → f ' ( x ) = nx( n −1)
4. Función radical: f ( x ) = n x ( n ≥ 2 ) → f ' ( x ) =

1
n x n −1
n

1
x
6. Funciones exponenciales: f ( x ) = a x → f ' ( x ) = a x lna

5. Función logaritmo: f ( x ) = ln x → f ' ( x ) =

f ( x ) = ex → f '( x ) = ex

7. Funciones trigonométricas: f ( x ) = sen ( x ) → f ' ( x ) = cos ( x )

f ( x ) = cos ( x ) → f ' ( x ) = − sen ( x )

f ( x ) = tg ( x ) → f ' ( x ) = 1 − tg 2 ( x ) =

1

cos 2 ( x )

Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.2. Derivadas de las funcioneselementales. Reglas
de derivación.
Algebra de derivadas
Sean

y

dos funciones derivables en

.

a) ( f ± g ) ' ( x ) = f ' ( x ) ± g ' ( x )
b) Si k ∈ ℝ : ( kf ) ' ( x ) = kf ' ( x )

c) ( f ⋅ g ) ' ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x)
f 
d)   ' ( x ) =
2
g ( x)
g
e) ( g f ) ' ( x ) = g ' ( f ( x ) ) f ' ( x )

Regla de la cadena3

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Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.2. Derivadas de las funciones elementales. Reglas
de derivación.
Derivadas de orden superior

f → f ' → f '' → f ''' → f 4 → ... → f n
Definición: Llamamos función de clase
derivable y sus

a aquella función que es

veces

derivadas son continuas.

REGLA DE L’HÔPITAL
Sean , : → dosfunciones continuas y derivables en un entorno
reducido de un punto ∈ en el que la derivada de la función
no se
anula.

Cuando lim f ( x ) = lim g ( x ) = {0, +∞, −∞}
x →a

lim
x→a

lim
x→a

f ( x)

x →a

= {0, +∞, −∞} ⇒

g ( x)

f '( x)

g '( x)

= l ∈ ℝ ⇒ lim
x→a

f ( x)

g ( x)

=l

Tema 2: Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable

2.2....