Matematicas

5

Programación lineal

1. Introducción a la programación lineal
■ Piensa y calcula
Escribe una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x chaquetas a 30 Solución: f(x, y) = 30x + 20y e y pantalones a 20

● Aplica la teoría
1. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 2x + y Ì 1 000 ° § x + 1,5y Ì 750 § ¢ xÓ0 § § yÓ0 £ a) represéntalográficamente. b) halla sus vértices. c) obtén el valor máximo de la función f(x, y) = 15x + 12y en el recinto anterior, así como el punto en que lo alcanza. Solución:
Y

2. Representa gráficamente la región factible determinada
por las siguientes desigualdades: ° xÓ0 § yÓ0 § ¢ x+yÓ5 § § 4x + 3y Ì 30 £ Calcula la solución que hace mínima la función objetivo z = x + 2y sometida a las restriccionesanteriores. Solución:
Y
C(0, 10)

2x + y = 1 000 D(0, 5) C(0, 500) B(375, 250) 100 O(0, 0) 100 A(500, 0) x + 1,5y = 750 1

4x + 3y = 30

x+y=5 B(7,5;0) 1 A(5, 0)

X

X

A(5, 0) ò f(5, 0) = 5 + 2 · 0 = 5 Mínimo B(7,5; 0) ò f(7,5; 0) = 7,5 + 2 · 0 = 7,5 C(0, 10) ò f(0, 10) = 0 + 2 · 10 = 20 D(0, 5) ò f(0, 5) = 0 + 2 · 5 = 10 La solución óptima es A(5, 0)
© Grupo Editorial Bruño, S.L.O(0, 0) ò f(0, 0) = 15 · 0 + 12 · 0 = 0 A(500, 0) ò f(500, 0) = 15 · 500 + 12 · 0 = 7 500 B(375, 250) ò f(375, 250) = 15 · 375 + 12 · 250 = = 8 625 Máximo C(0, 500) ò f(0, 500) = 15 · 0 + 12 · 500 = 6 000 La solución óptima es B(375, 250)

148

SOLUCIONARIO

2. Resolución de problemas de programación lineal
■ Piensa y calcula
Escribe la función objetivo que calcule los ingresos que seobtienen al vender x bicicletas de paseo a 200 montaña a 150 Solución: f(x, y) = 200x + 150y e y bicicletas de

● Aplica la teoría
3. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que la de un vestido, halla cuántos trajes yvestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia. Traje Nº de unidades Tejido A Tejido B Beneficio b) Región factible.
Y

Solución: a) Tabla con los datos del problema.

Vestido y 2y 2y y

Restricciones x Ó 0; y Ó 0 x + 2y Ì 80 3x + 2y Ì 120 f(x, y) = x + y Maximizar

x x 3x x

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0) ò f(0, 0) = 0 + 0 = 0 A(40,0) ò f(40, 0) = 40 + 0 = 40 B(20, 30) ò f(20, 30) = 20 + 30 = 50 Máximo C(0, 40) ò f(0, 40) = 0 + 40 = 40 d) La solución óptima es B(20, 30)

3x + 2y = 120 C(0, 40) B(20, 30) x + 2y = 80 10 A(40, 0)

10 O(0, 0)

X

4. Una empresa produce dos bienes,A y B.Tiene dos factorías
y cada una de ellas produce los dos bienes en las cantidades por hora siguientes: Bien A Bien B

Factoría I 10unidades/hora 25 unidades/hora

Factoría 2 20 unidades/hora 25 unidades/hora

La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los costes de funcionamiento de las dos factorías son: 100 por hora para la factoría 1 y 80 por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costes de la empresa y satisfacer el pedido?
© Grupo Editorial Bruño, S.L.Solución: a) Tabla con los datos del problema. Tiempo (h) Bien A Bien B Costes

Factoría I x 10x 25x 100x

Factoría 2 y 20y 25y 80y

Restricciones x Ó 0; y Ó 0 10x + 20y Ó 300 25x + 25y Ó 500 f(x, y) = 100x + 80y Minimizar

TEMA 5. PROGRAMACIÓN LINEAL

149

b) Región factible.

Y

25x + 25y = 500 C(0, 20) 10x + 20y = 300 5 5 B(10, 10) A(30, 0)

c) Valores de la funciónobjetivo en los vértices de la región factible. A(30, 0) ò f(30, 0) = 100 · 30 + 80 · 0 = 3 000 B(10, 10) ò f(10, 10) = 100 · 10 + 80 · 10 = 1 800 C(0, 20) ò f(0, 20) = 100 · 0 + 80 · 20 = = 1 600 Mínimo d) La solución óptima es C(0, 20)
X

5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y 80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes:...