matematicas

Unidad 4. Algebra Booleana
Las leyes vistas con anterioridad nos sirven para definir una estructura matemática abstracta denominada álgebra booleana, en honor del matemático George Boole (1815-1864).

Es importante el estudio del álgebra booleana para las tecnologías de la información y comunicaciones porque es fundamental para diseñar y determinar circuitos de tipo digital. Indudablemente,no deja de ser álgebra, pero de tipo booleana; su diferencia radica en las correlaciones que existen en los circuitos  cimentados en dispositivos como interruptores o transistores, por mencionar algunos ejemplos.
Es importante el estudio del álgebra booleana para las tecnologías de la información y comunicaciones porque es fundamental para diseñar y determinar circuitos de tipo digital.Indudablemente, no deja de ser álgebra, pero de tipo booleana; su diferencia radica en las correlaciones que existen en los circuitos  cimentados en dispositivos como interruptores o transistores, por mencionar algunos ejemplos.
4.1 Definiciones básicas 
El álgebra booleana se define como: sea B un conjunto no vacío con dos operaciones binarias, se aplica en bits, es decir, el cero o el uno,  (+ y*),  una operación unaría (‘) y dos elemento distintos (0 y 1) que siguen los siguientes axiomas y donde a, b, y c son elementos arbitrarios en B.
 

B1

LEYES CONMUTATIVAS

a+b=b+a

a*b=b*a









B2

LEYES DISTRIBUTIVAS

a+(b*c)= (a+b) * (a+c)

a(b+c)= (a*b) + (b*a)









B3

LEYES DE IDENTIDAD

a+0=a

a*1=a









B4

LEYES DEL COMPLEMENTOa+a’=1

a*a’=0









 
 
 
         Unaria es un ejercicio matemático en el que solo necesita el operador y un único operando, es decir, un razonamiento para que se pueda calcular un valor.
         El símbolo * generalmente no se utiliza y se pone una yuxtaposición, por ejemplo:
 
 4.1 Dualidad
El dual de cualquier proposición en un álgebra booleana B es la proposición quese obtiene al intercambiar las operaciones + y* , e intercambiar sus elementos de identidad 0 y 1 en la preposición original, por ejemplo :
 
 (0+a)*(b+1)=b (1*a)+(b*0)=b
4.2 Latices
Las latices, también conocidas con el nombre de red, son un conjunto fraccionado arreglado por una relación de orden, en el que cada subconjunto {a, e},  consta de dos elementos y posee una mínima cota superiory otra inferior.
 
La mínima cota superior del conjunto {a,e} se escribe como m.c.s. ({a, e}) y se expresa "a + e"; a su vez, la máxima cota inferior del conjunto {a, e} se expresa como M.C.I. ({a, e}) y se denota como "a. e", por ejemplo:
I)             S  es un conjunto no vacío y  T = P(S). Se sabe que la operación "Pa " es una relación de orden parcial en P(S), por lo que se establece  A +E, mínimo común múltiplo, (m.c.m). ) como la unión de A y E y A E, máximo común divisor (M.C.D). ) que es la intersección de A y E.
 
II)            Es n un entero positivo y sea Dn el conjunto de todos los divisores positivos de n. Por lo tanto, el conjunto Dn ordenado por la relación de divisibilidad es una látice.
Así, si n = 12 entonces D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} y se cumple que paracualesquiera a, e Pa D12:
a + b = m.c.m({a, b})
 a.b = M.C.I({a, b}) es
A continuación se presenta el diagrama de Hasse de D12

 
En la siguiente figura no se representa el látice porque el conjunto {a, g} no posee mínima cota superior, es decir a+ g no existe:
 

 
También se pueden presentar casos que, aunque existan cotas superiores e inferiores, no son comparables, como se observa conformea los conjuntos   {b, c} y {d, e}

Teoremas y postulados
      
          Teoremas

Teorema 1: Multiplicación por cero (identidad)
Es el factor neutro:  
Suma: a+1=!--------Producto: a0=0

Teorema 2: Absorción En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicando a otra expresión. 
Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A

Teorema 3: Cancelación I Es cuando se...