matematicas


UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRER
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MATEMATICAS II
MATERIAL DE APOYO DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLESTERCER SEMESTRE





AUTOR: MC. JESUS ZARAGOZA MARTINEZ






CHILPANCINGO GUERRERO AGOSTO DEL 2014.


FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

En la segundaparte de este curso de matemáticas II vamos a considerar funciones de dos o más variables independientes. Este tipo de funciones son muy importantes en economía porque muchas variables de interés con las que usualmente trabajamos están funcionalmente relacionadas con otras variables. En macroeconomía tenemos, por ejemplo, que el consumo se considera que es una función del nivel del ingreso y latasa de interés o que la demanda de saldos monetarios es una función del nivel del producto de la economía, de la tasa de interés y de la tasa de inflación. En microeconomía, la demanda de un bien depende del precio del mismo bien, los precios de los bienes sustitutos y complementarios, del ingreso del consumidor.

SISTEMA TRIDIMENSIONAL


Puntos en espaciotridimensional tienen coordenadas como en la siguiente figura. La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional


La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.
(Si estánegativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.
(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)


Función de dos variables
Definición: Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) perteneciente a un conjunto D un único número realque se puede escribir z = f(x,y), donde las variables x y y son independientes una de otra. El conjunto D es el dominio de la función y los valores que toma z = f(x,y), es el rango de la función. (Stewart, p. 907).
Las variables x y y son las variables independientes mientras que z es la variable dependiente. Al igual que lo que sucede con las funciones en una única variable independiente, eldominio de la función tiene que estar especificado de manera que sea válida en el campo de los números reales. Cuando se trata de funciones de aplicación en economía, el dominio de la función debe tener, además, “sentido económico”.
Ejemplo. Sea la siguiente función f (x, y) = x2 + y2
La función f está definida para todo (x, y) ∈ R2 y por tanto el dominio de f es D = R2.
Como f puede alcanzarcualquier valor no negativo, el recorrido es R = {z ∈ R : z ≥ 0}.
Nota:
Llamemos R al conjunto de números reales. El conjunto de pares de valores (x1, x2) con x1, x2 reales lo llamaremos R2, es decir, es el producto cartesiano

R2 = R × R = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 ∈ R}
Ejemplo: f (x, y) = log xy Para que la función f esté definida es necesario que


Para que la función f estédefinida es necesario que xy > 0 entonces


x > 0 y > 0 o bien x < 0 y < 0

así el dominio de f será el siguiente conjunto

y el recorrido es R = R

Ejemplo:
Tenemos que Así el dominio es en forma grafica

Ejemplo:
Tenemos que D = R3 ya que f está definida para todo punto (x, y, z).

Ejemplo:
Tenemos que el dominio es

Así el...