Matematicas

La Matemática no es sólo un cuerpo de conocimientos sino una actividad. En la versión contemporánea de la disciplina, parte del núcleo de la actividad lo constituye la demostración. En realidad ha sido así desde la refundación de la disciplina en manos de los griegos.
La matemática griega introdujo un elemento novedoso en la matemática: el método deductivo, en el marco de las organizacioneslocales. Por ejemplo la geometría del triángulo, la geometría de la circunferencia fueron desarrollándose como pequeños universos de conocimiento geométrico. De esta manera fue posible aplicar los resultados que iban siendo establecidos dentro de estos universos a problemas del espacio físico. Desde luego, la geometría se desarrolla como una representación y organización del conocimiento sobre elespacio físico. Un ejemplo sobresaliente lo constituye el método ideado por Eratóstenes para estimar el radio de la tierra. Este tipo de ejemplos, en donde no es posible la verificación directa del resultado, fue importante para establecer el método deductivo como un criterio de validación, en cierta forma para sustituir una comprobación que estaba ausente.
En la incorporación del método deductivo ala matemática también resultó central laintención filosófica de construir una ciencia teórica cuya meta era el conocimiento de la verdad (Véase Metaphysics, p.512). El objetivo del método deductivo era explicar: explicar era demostrar. Para explicar, hay que partir, en una ciencia, de primeros principios. Esta organización, ya de carácter global, en la geometría, quedó plasmada en los Elementos deEuclides. Allí hay una organización que rebasa ampliamente las organizaciones locales a las que ya hemos hecho referencia al comienzo de este trabajo. La intención filosófica de construir una ciencia desde sus primeros principios, la podemos hallar en Aristóteles quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa. El tema central de su libro Tópicoses la demostración y la facultad quela realiza (véase Tópicos I.1, p.39). Allí se encuentran los elementos que componen una ciencia demostrativa:
(i) las definiciones
ii)los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados y los comunes a todas, los axiomas
(iii) finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones demostradas a través de la inferencia.
Agrandes rasgos, estos son los antecedentes de la organización axiomática de la geometría griega. Lo que siguió, es decir, la exploración de las proposiciones como miembros constitutivos de un sistema axiomático de geometría, fue cambiando, gradualmente, el significado de estas mismas proposiciones. Dejaron de ser vistas como representaciones de alguna propiedad del espacio (físico). Es decir, fueronperdiendo su valor ontológico, y fue enfatizado su aspecto lógico. Empero, esto no fue un proceso breve. Duró varios siglos y hubo profundas razones para ello.
La principal fue quizás, el desarrollo impulsado por los intentos de demostrar el V Postulado, pues ya desde tiempos de Euclides fue visto como una proposición muy complicada para adjudicársele la categoría de postulado: carecía de laevidencia en sí que debía caracterizar las proposiciones dignas de tal nombre. La historia de los intentos de demostración del postulado de las paralelas cubre una parte sustancial de la historia de la geometría hasta el siglo XIX. Cubre, en particular, parte importante de la evolución de la idea de demostración. Desde el comienzo, fue claro para quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlodentro del contexto euclidiano y ello comportaba una hipótesis de profundo valor epistemológico: el espacio era euclidiano. La demostración del postulado simplemente haría más ligero el sistema postulacional. No hubo, en general, duda alguna del isomorfismo entre el sistema euclideo y el espacio físico. Hasta comienzos del siglo pasado pues, la idea de lo que constituía una demostración en geometría...