Matematicas

Cálculos Numéricos para Ingenieros
Sistemas Algebraicos no Lineales
Desde hace años se aprendió a usar la fórmula cuadrática:

Para resolver;

−������ ± ������ 2 − 4������������ ������ = 2������

(1)

f(x) = ax2+bx + c = 0

(2)

A los valores calculados con la ecuación (1) se les llama "raíces" de la ecuación (2). Estos representan los valores de x que hacen f(x)=0. Por esta razón,algunas veces se les conoce como ceros de la ecuación. Aunque la fórmula cuadrática es útil para resolver la ecuación (2), hay muchas funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos descritos a continuación proporcionan métodos eficientes para obtener la respuesta.

Después de terminar la Unidad II se debe tener la suficiente informaciónpara aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En general, se denominarán las técnicas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular.
T.II - 01
ROXANA SERRANO ANDRADE

Cálculos Numéricos para IngenierosRaíces de ecuaciones – Métodos de Intervalos o Cerrados
Estos métodos tratan sobre raíces de ecuaciones con métodos que aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama Métodos de Intervalos, porque se necesitan de dos valores iniciales para el cálculo de la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben "encerrar" oestar sobre cualquier lado de la raíz. Los métodos particulares descritos respecto a este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta. Como preámbulo de estas técnicas se discutirán los métodos gráficos para representar funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valoresiniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.

Métodos Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x)=0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0, proporciona una aproximación inicial de laraíz.

T.II - 02


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Raíces de ecuaciones – Ejemplo 1
Use la aproximación gráfica para determinar el coeficiente de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t=10 s. Nota: La aceleración de gravedad es de 9.8 m/s2.

Solución:
Este problema se puede resolver determinando,con los parámetros de t = 10s, g = 9.8 m/s2, v = 40m/s y m = 68.1kg, la raíz de la ecuación
60 50 40

������ ������
Sustituyendo

������. ������ = ������

������ − ������ 1 − ������ ������

− ������
f (c)

30 20 10 0 0 -10 -20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

������ ������

667.38 = 1 − ������ −0.146843 ������ − 40 ������

Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derechode esta ecuación para calcular la raíz. T.II - 03

c

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Raíces de ecuaciones – Método de Bisección
Cuando se aplican las técnicas gráficas, en el ejemplo 1, se observó que f(x) cambia de signo en ambos lados de la raíz. En general si f(x) es real y continua en el intervalo de a a b y f(a) y f(b) tienen signos opuestos; esto es:Dado f(x), a, b

f(a)f(b) 0

a=c

b=c

f(c) < error

Fin
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Raíces de ecuaciones – Método de Bisección
Si bien la puesta en funcionamiento del método es muy fácil de llevar a cabo, el número de cálculos se debe realizar para alcanzar la precisión deseada suele ser muy elevado. El número de iteraciones puede ser a priori...