Matematicas

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METODOLOGIA PARA RESOLVER UNA ECUACION CUBICA

Existen fórmulas para resolver ecuaciones de tercer grado, aunque es el método más complicado y arduo, por lo que se suelen aplicar los demás métodos.Son 3 fórmulas que permiten hallar las 3 soluciones de la ecuación:
[pic]
[pic]
[pic]
donde:
[pic]y
[pic]
Ecuación de tercer grado

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es unaecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde sepueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces.
[pic],
Los pasos de laresolución son:
• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
[pic]con [pic], [pic], [pic].
• Proceder al cambio de incógnita [pic], para suprimir el términocuadrado. En efecto, al desarrollar [pic]con la identidad precedente, vemos aparecer el término [pic], compensado exactamente por [pic]que aparece en [pic]. Se obtiene:
[pic], con p y q númerosdel cuerpo.
• Y ahora, la astucia genial: escribir [pic]. Así, la ecuación precedente da [pic].
Desarrollando: [pic].
Reagrupando: [pic].

Factorizando: [pic].

Comose ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:

[pic], que implica [pic].

• Pongamos [pic]y [pic]. Entoncestenemos [pic]y [pic]porque [pic]. Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar [pic], que se sabe resolver.
Luego [pic]y [pic]son raíces cúbicas de [pic]y [pic](que verifican [pic]yfinalmente [pic].
En el cuerpo [pic], si [pic]y [pic]son estas raíces cúbicas, entonces las otras son [pic]y [pic], y por supuesto [pic]y [pic], con [pic], una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto...
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