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UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS No. COMPLEJOS

No. COMPLEJO

Es cualquier número que puede escribirse en forma a + bi , donde a y b son números reales. El número real a es la parte real, el número real b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estándar.

NOTA HISTÓRICA

René Descartes (1596-1650) acuñó el término imaginario en una época en que lassoluciones negativas de ecuaciones eran consideradas falsas. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nos dio el término de número complejo y el símbolo i para [pic]

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LOS No. COMPLEJOS

SUMA Y RESTA

La suma de números complejos se lleva a cabo sumando sus partes real e imaginaria por separado. La resta de números complejos también se realiza usando las mismas partes.Si a + bi y c + di son dos números complejos, entonces

Suma (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

EJEMPLOS

SUMA
a) (-8 + 5i) + (5 – 3)i
= (-8 + 5) + (5 – 3)i
= (-3) + (2i)
= (-3 + 2i)

b) (5 – 3i) + (-8 + 5i)
= [(5 + (-8)] + (-3 + 5)i
= (5 – 8) + (2i)
= (-3 + 2i)

c) (7 – 3i) + (4+ 5i)
= (7+4) + (-3 + 5)i
= (11 + 2i)

d) (4 + 3i) + (5 + 9i)
= (4 + 5) + (3 + 9)i
= (9 + 12i)

e) (-6 + 4i) + (8 – 7i)
= (-6 + 8) + (4 – 7)i
= (2 – 3i)

f) (4 + ⅓i) + (-8 – i)
= (4-8) + (⅓ - 1)i
= (-4 - ⅔i)

RESTA

a) (5 – 3i) – (1 – i)
= (5 – 1) + (-3 + 1)i
= (4) – (2i)
= (4 – 2i)

b) (1 – i) – (5 – 3i)
= (1 – 5) +(-1 + 3)i
= (-4) + (2i)
= (-4 + 2i)

c) (2 – i) – (8 + 3i)
= (2 – 8) + (-1 -3)i
= (-6 – 4i)

d) (9 - 5i) - (4 + 7i)
= (9 - 4) + (-5 - 7)i
= (5 - 12i)

e) (3 - 5i) - (6 + 7i)
= (3 - 6) + (-5 - 7)i
= (-3 - 12i)

f) (5 - ⅗i) – (8 + ⅞i)
= (5 – 8) + (- ⅗ - ⅞)i
= (-3 - [pic]i)

La identidad aditiva para los números complejos es 0=0 + 0i. El inverso aditivode a + bi es –(a+bi)= -a-bi, ya que:
(a + bi) + (-a – bi) = 0 + 0i = 0.
Muchas de las propiedades de los números reales también se cumplen para los números complejos. Éstas incluyen:

• Propiedades conmutativas de la suma y la multiplicación.

SUMA. Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi)
Ejemplo:
(2 - 3i) + (-3 + i) = (2- 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i
(-3 + i) + (2 - 3i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

MULTIPLICACIÓN. Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:
(a + bi).(c + di) = (c + di) (a + bi)

Ejemplo:
(7 - i)•(5 + 2i) = 35 + 14i - 5i -2i ² = 35 + 9i - 2(-1) = 37 + 9i
(5 + 2i)•(7 - i) = 35 - 5i + 14i -2i ² = 35 + 9i - 2(-1) = 37 + 9i

• Propiedades asociativas de la suma y lamultiplicación.

SUMA. Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi) + (c + di)] + (e + fi) = (a + bi) + [(c + di) + (e + fi)]
Ejemplo:
(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i
(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

MULTIPLICACIÓN. Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:
[(a + bi) (c + di)](e +fi) = (a + bi) [(c + di) (e + fi)]
Ejemplo:
[(2 - 3i)•(5 + i)]•(4 - 7i) = (10 + 2i - 15i - 3i ²)•(4 - 7i) = (13 - 13i)•(4 - 7i) = 52 - 91i - 52i + 91i ² = - 39 - 143i
(2 - 3i)•[(5 + i)•(4 - 7i)] = (2 - 3i)•(20 - 35i + 4i - 7i ²) = (2 - 3i)•(27 - 31i) = 54 - 62i - 81i + 93i ² = - 39 - 143i

• Propiedades distributivas de la multiplicación sobre la suma y la resta.

Dados tres númeroscomplejos a + bi, c + di y e + fi, se cumple:
(a + bi)•[(c + di) + (e + fi)] = (a + bi) (c + di) + (a + bi)•(e + fi)

Ejemplo:
(1 - 2i) [3i + (2 - 7i)] = (1 - 2 i) (2 - 4i) = 2 - 4i - 4i + 8i ² = -6 - 8i
(1 - 2i) 3i + (1 - 2i) (2 - 7i) = (3i - 6 i²) + (2 - 7i - 4i + 14i²) = (3i + 6) + (-12 - 11i)
= - 6 - 8i

Usando estas propiedades y el hecho de que i2 = -1, los números complejos...
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