Matematico

PEANO, LAWVERE, PEIRCE: TRES AXIOMATIZACIONES DE ´ LOS NUMEROS NATURALES

LINA MAR´ BEDOYA MEJ´ IA IA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS ´ IBAGUE 2003

PEANO, LAWVERE, PEIRCE: TRES AXIOMATIZACIONES DE ´ LOS NUMEROS NATURALES

LINA MAR´ BEDOYA MEJ´ IA IA

Trabajo de grado para optar al t´ ıtulo de Profesional en Matem´tica con ´nfasis en Estad´ a e ıstica

Director M. Sc.ARNOLD OOSTRA Profesor del Departamento de Matem´ticas y Estad´ a ıstica

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS ´ IBAGUE 2003

Contenido
Introducci´n o 1 La axiomatizaci´n de Peano o 1.1 1.2 1.3 Presentaci´n de los n´meros naturales por Peano . . . . . . . o u Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Peano . . . . . o u u Las operaciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . .. . v 1 1 5 6 10

2 La axiomatizaci´n de Lawvere o 2.1 2.2 2.3

El ‘objeto n´meros naturales’ introducido por Lawvere . . . . 10 u Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Lawvere . . . 13 o u u Lawvere vs. Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 2.3.2 De Lawvere a Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 De Peano a Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 19 . . . . . . . . 23

3 La axiomatizaci´n de Peirce o 3.1 3.2 3.3 3.4 Contenido del art´ ıculo On the Logic of Number

Acerca de Charles S. Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Peirce . . . . . 26 o u u Las operaciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 26 28

4 Peirce vs. Peano 4.1 4.1.1

Equivalencia entre lasaxiomatizaciones . . . . . . . . . . . . . 28 De Peano a Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii

CONTENIDO 4.1.2 4.2 4.3

iv De Peirce a Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Comparaci´n conceptual de las axiomatizaciones . . . . . . . . 33 o Contextos categ´ricos para la equivalencia . . . . . . . . . . . 34 o 36 53

5 Traducci´n de On the Logic of Number oBibliograf´ ıa

Introducci´n o
´ En algunos textos aristot´licos, como el Organon, se propone el m´todo axioe e m´tico como el m´s adecuado para elevar determinado conjunto de proposia a ciones al rango de ciencia. En ´ste m´todo se quiere hacer descender todas las e e proposiciones de algunas primitivas, llamadas axiomas del sistema deductivo. Bajo ´sta perspectiva, la primera ciencia es lageometr´ pues sus enune ıa, ciados fueron recopilados y organizados de manera deductiva por Euclides hacia el a˜o 300 antes de Cristo, en el texto matem´tico m´s c´lebre de ton a a e dos los tiempos: Elementos. Aunque en ´ste documento se utilizaron algunos e axiomas no formulados y aparecen algunos razonamientos l´gicamente incoo rrectos, Elementos abri´ un camino hacia la formalizaci´n de lageometr´ o o ıa. El trabajo de la axiomatizaci´n de la geometr´ concluye en 1899 cuando o ıa el matem´tico alem´n David Hilbert publica Fundamentos de la Geometr´ a a ıa, que contiene un sistema completo de axiomas para la geometr´ euclidiana. ıa Pero Hilbert va m´s lejos, empleando su axiomatizaci´n para basar la cona o ´ sistencia de su sistema en la consistencia de la aritm´tica. Esta es la llamada e“aritmetizaci´n de la geometr´ o ıa”. En la misma ´poca los trabajos de Weierstrass, basados en los de Cauchy, e hab´ logrado la “aritmetizaci´n del an´lisis” en el sentido de que es posiıan o a ble construir el sistema de los n´meros reales (espacio natural del c´lculo o u a an´lisis) a partir de los n´meros naturales. a u En el c´ ırculo de estudiosos y aficionados a las matem´ticas se acepta ade manera generalizada que el sistema de los n´meros naturales fu´ axiou e v

´ INTRODUCCION

vi

matizado en 1889 por el matem´tico italiano Giuseppe Peano en el texto a Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita y, aunque no es un hecho tan conocido, se acepta que ella se basa en trabajos anteriores de Richard Dedekind. Lo que se ignora de manera casi universal es que varios a˜os...