matematicos

La integral de línea

Problemas resueltos
1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización
4
1
α(t) = t ı + t3/2  + t k,
3
2

t ∈ [0, 2].

Solución:
1
α (t) = (1, 2t1/2 , ),
2

t ∈ [0, 2].

La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.
α (t) =

1 + 4t +

1
1√
=
5 + 16t
4
2

La longitud de α será:
2

s=

α (t) dt =
0
2

=
0

1√
11 2
5 + 16tdt = . . (5 + 16t)3/2
2
2 16 3

2

=
0

√
√
1
(37 37 − 5 5)
48

2. La ecuación de una curva es y 2 = x3 . Halle la longitud del arco que
une (1, −1) a (1, 1).
Solución:

Problemas resueltos
Parametrizamos la curva de la forma: x = t2 ,
evitamos los radicales). Así:
α(t) = (t2 , t3 ),

y = t3 , (con esta parametrización

α (t) = (2t, 3t2 ),

∀t ∈ R

α esde clase C 1 en R y además la parametrización dada recorre la curva en el
sentido que se pide porque:
α(−1) = (1, −1),

α(0) = (0, 0),

α(1) = (1, 1).

4t2 + 9t4 = |t| 4 + 9t2 .

α (t) =
La longitud del arco será:
1

s=

α (t) dt =
−1
1

1

|t| 4 + 9t2 dt =

=
−1

0

1
=
(4 + 9t2 )3/2
27

3. Calcule

αz,

0

t 4 + 9t2 dt −

t 4 + 9t2 dt =
−1

1

1
−(4 + 9t2 )3/2
27
0

0

=
−1

√
1
(26 13 − 16).
27

donde α es la curva descrita por la parametrización

α(t) = t cos t ı + tsen t  + t k

con 0 ≤ t ≤ 2π.

Solución:
α(t) = (t cos t, tsen t, t),

α (t) = (cos t − tsen t, sen t + t cos t, 1), t ∈ [0, 2π].

α es de clase C 1 (α es continua).
α (t) =

2 + t2

Sea f (x, y, z) = z. Entonces
2π

z=
α

f (α(t)). α (t)dt =
0
2π

=

t 2+
0

t2 dt

1
= (2 + t2 )3/2
3

2π

=
0

1
3

√
(2 + 4π 2 )3 − 2 2 .

La integral de línea
4. Calcule

C (x

+ y), siendo C un triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y

(0, 1).
Solución:

Sea C la trayectoria del triángulo recorrida en sentido contrario a las agujas
del reloj. Siendo
α1 (t) = (t, 0),
α2 (t) = (1 − t, t),

α1 (t) = (1, 0),α1 (t) = 1,

α2 (t) = (−1, 1),

α3 (t) = (0, 1 − t),

α2 (t) =

α3 (t) = (0, −1),

t ∈ [0, 1].

√
2,

α2 (t) = 1,

t ∈ [0, 1].
t ∈ [0, 1].

y puesto que
α1 (0) = (0, 0) = α3 (1),

α1 (1) = (1, 0) = α2 (0) y

α2 (1) = (0, 1) = α3 (0)

podemos considerar C como el arco unión C = α1 ∪ α2 ∪ α3 . Entonces:
(x + y) =
C

(x + y) +
α1
1

tdt +
0
√
= 1 + 2.

(x + y)+
α2

1√

=

1

2dt +

0

(x + y) =
α3

(1 − t)dt =
0

t2 √
t2
+ 2t + t −
2
2

1

=
0

Problemas resueltos
5. Un alambre tiene forma de circunferencia, x2 + y 2 = a2 . Determine
su masa y su momento de inercia respecto de un diámetro si la densidad en un
punto (x, y) del alambre está dada por la función f (x, y) = |x| + |y|.
Solución:
La masa del alambre vienedada por la expresión:
M=

f (x, y) =
γ

|x| + |y|
γ

siendo γ la curva cuya trayectoria representa la forma del alambre, en este caso
una circunferencia que parametrizamos por:
γ(t) = (a cos t, asen t),

t ∈ [0, 2π]

que es de clase C 1
γ (t) = (−asen t, a cos t)
2π

M=

→

γ (t) = a

2π

f (γ(t)) γ (t) dt =
0

(|a cos t| + |asen t|) adt =
0

π/2

= a2

(cos t+ sen t)dt + a2

0

+ a2

3π/2

π

(− cos t + sen t)dt+
π/2

(− cos t − sen t)dt + a2

π

2π

(cos t − sen t)dt =
3π/2

π/2

= a2 [sen t − cos t]0

+ a2 [−sen t − cos t]π +
π/2

+ a2 [−sen t + cos t]3π/2 + a2 [sen t + cos t]2π = 8a2 .
π
3π/2

La integral de línea
Para calcular el momento de inercia respecto de un diámetro necesitamos la
distancia de un puntocualquiera (x, y) a dicho diámetro. Para simplificar,
tomaremos como eje el eje OX, por tanto, la función que da la distancia de
un punto al eje es r(x, y) = |y|. Teniendo en cuenta la definición (1.11) del
momento de inercia respecto de un eje se tiene:

y 2 (|x| + |y|) =

I=
γ

2π

= a4
− a4
− a4
+ a4

0
3π/2
π/2
2π
π
π
0

π/2

sen 2 t(|sen t| + | cos t|)dt = a4

sen 2...