Matemática activa

´ EJERCICIOS DE LOGICA — HOJA 1

1. Determinar el valor de verdad de los enunciados que se enumeran a continuaci´n, escribiendo las proposiciones que los expresan formalo mente y la fila de la tabla de verdad que corresponde en cada caso. (i) Si Napole´n Bonaparte era chino, entonces 3 − 2 = 2. o (ii) O las rosas son animales o el perro tiene cuatro patas. (iii) Si un hombre es cuadr´pedoentonces ma´lla. u u ´ (iv) Par´ est´ en Francia o Madrid est´ en Africa. ıs a a (v) La piedra p´mez es hombre si y s´lo si las mujeres son sardinas. o o (vi) Ni los perales dan cerezas ni Cleopatra no fue china. (vii) No es cierto que si las ranas no rebuznan, es 3 por 2 igual a 7. (viii) Si las setas son animales y el Cid era espa˜ol, la longitud de la n circunferencia es dos veces el radio. (ix) Enuna baraja de 40 cartas hay 45 ases si y s´lo si el cuero es una o planta. (x) O Viriato cruz´ el Mar Rojo para apoderarse de Hungr´ o si Felipe o ıa II fue rey no le toc´ el trono en una rifa. o 2. Se sabe que si un perro es negro, entonces muerde, y si un perro tiene la rabia, tiene sed. Probar que si el perro es negro o tiene la rabia, entonces muerde o tiene sed. 3. Realizar la escritura formaly el an´lisis de verdad de las siguientes a frases de autor: (i) Eur´ ıpides: ((en no habiendo vino no hay ya amor)). (ii) Louis-Ferdinand C´line: ((Cuando uno no tiene imaginaci´n, la e o muerte es poca cosa; cuando uno la tiene, la muerte es demasiado)). (iii) Kafka: ((Ese lapso, corto quiz´ si se le mide por el calendario, es a interminablemente largo cuando, como yo, se ha galopado a trav´sde e ´l)). e 4. Expresar en lengua castellana las siguientes sentencias a) b) c) d) P → (Q → R) (R ∨ S) → ¬T U → (S ∨ T ) (P ∧ Q) → U e) f) g) h) (R ∧ S) → U Q → (¬Q ⊕ ¬R) (Q ∨ R) → S (T ∧ P ) → (¬S ∨ Q)

asignando el siguiente significado a las proposiciones simples: P =((Juan coge el autob´s)), Q=((El autob´s llega tarde)), R=((Juan pierde su u u cita)), S=((Juan queda abatido)), T =((Juan va acasa)), U =((Juan pierde el trabajo)). 5. Escribir las tablas de verdad de las proposiciones del ejercicio 4.

´ EJERCICIOS DE LOGICA — HOJA 2

1. Expresar todas las funciones booleanas de una variable, 2 −→ 2, y todas las de dos variables, 2×2 −→ 2, usando cada uno de los siguientes sistemas de conectores siguientes: (i) {¬, ∧, ∨}, (ii) {¬, ∧}, (iii) {¬, ∨} y (iv) {¬, →}. 2. Para cada una delas proposiciones que se proponen, encontrar otra con la misma funci´n de verdad que la dada y que est´ escrita en cada o e uno de los sistemas de conectores siguientes: (i) {¬, ∧}, (ii) {¬, ∨} (iii) {¬, →}. Las proposiciones propuestas son: (i) (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), (ii) ¬p ∨ (q → ¬r), (iii) (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ r), (iv) (p ∨ q) ↔ ¬r. 3. Para cada una de las proposiciones siguientes, encontrar otra conla misma funci´n de verdad que la negaci´n de la dada y en la que el o o conector negaci´n s´lo se aplique sobre las letras individuales: o o (i) p → (p ↔ ¬r), (ii) ¬p ∨ (p → r), (iii) p ∧ (q ∨ ¬r). 4. Supongamos un conector constante (sin variables) al que asignamos como valor 0 (falso) y que denotaremos con el propio s´ ımbolo 0. Averiguar si el sistema de conectores {0, →} es o no adecuado. 5.Expresar todas las funciones booleanas de una y dos variables que sea posible como funciones de verdad de proposiciones escritas unicamente ´ con los siguientes grupos de conectores: (i) {→, ∧}, (ii) {¬, ↔}, (iii) {→}. 6. Sea la funci´n booleana de tres variables, ϕ : 2 × 2 × 2 −→ 2, dada o por la expresi´n ϕ(x, y, z) = (x ∨ y) → ¬z. Demostrar que esta funo ci´n engendra todas las funcionesbooleanas. En particular, expresar o mediante ϕ la funci´n de verdad de la proposici´n P = ¬r → (p ∨ q). o o 7. Se llama ((barra de Sheffer)) o ((nand)) al conector binario cuya funci´n o de verdad f (x, y) vale 0 si y s´lo si x = 1 = y. Demostrar que este o conector, que se escribe P | Q, alcanza a expresar todas las funciones de verdad. En particular, expresar s´lo con | la funci´n de verdad de o o...