Matemática Simplificada

1 Derivadas Parciales (Parte 1) FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Hasta ahora nos hemos preocupado del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades físicas dependen de dos o más variables, por ejemplo : el volumen de un cilindro recto circular depende del radio y de la altura , la presión ejercida por un gas ideal encerrado es una funciónde su temperatura y de su volumen , la temperatura de un punto ( ) de un objeto en el espacio puede depender del tiempo y además de las tres coordenadas rectangulares , de , un fabricante puede saber que el costo de producir cierto artículo depende del material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y los gastos materiales (¡cinco variable!) etc. Como usualmente se trabajará confunciones de dos o tres variables se presenta la Definición formal de una función de dos variables. DEFINICION 1.1 Sea . Una FUNCION DE DOS VARIABLES es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales ( ) en un único número real denotado por . Manteniendo la notación utilizada para funciones de una variable

NOTACION : se tiene ahora :

En lo que resta de esta unidad

se considerauna región o dominio (ver Apéndice

)

OBSERVACION 1.1 En este caso Dominio de sea necesario precisarlo se utiliza el concepto. mientras que el RANGO de

, o bien, en el caso que

está dado por el conjunto de imágenes, esto es :

Además las variables e corresponden a las variables independientes mientras que corresponde a la variable dependiente.

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DEFINICION 1.2

Si es unafunción dada por entonces la GRAFICA de que se denota por conjunto

es el

Tal como en el caso de una función de una variable en que su gráfica está dada por una curva de ecuación contenida en el plano , así la gráfica de una función de dos variables está dada por una superficie con ecuación contenida en el espacio

Existe otro método gráfico de gran utilidad para describir una función consistetrazar en el plano las gráficas de las ecuaciones

,éste , para varios

3 valores de la constante . Las gráficas así obtenidas se llaman CURVAS DE NIVEL DE y un conjunto de tales curvas se llama MAPA de CONTORNO de

OBSERVACION Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración, mapas hidrográficos, mapas meteorológicos o climáticosdonde las curvas de nivel corresponden a las isotermas (temperatura constante) o bien isobaras (presión atmosférica constante)

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FUNCIONES DE TRES O MAS VARIABLES Las definiciones de funciones de tres o más variables son simplemente generalizaciones de la Definición 1.1 . Por ejemplo

es una función de tres variables si es una regla de correspondencia que asigna a cada trío ordenado ( ) en unúnico número real dado por EJEMPLO El volumen de una caja rectangular está dado por la función por la función está dado

OBSERVACION i) Como en este caso, la gráfica de una función está dado por es decir, está contenida en de modo que no es posible representarla graficamente. ii) La idea equivalente a las curvas de nivel está dada por las superficies de nivel , definidas por , donde :constante. Si mide la temperatura de un cuerpo contenido en entonces las superficies de nivel se llaman superficies isotermas y si representa el potencial eléctrico entonces se llaman superficies equipotenciales. LIMITES Y CONTINUIDAD
2 Consideremos la función definida en un entorno reducido de ( , ), es decir, puede que ( ) no esté definida en ( , ). Interesa dar ahora el significado correspondiente a laexpresión. lim ( ) ( ) ( , )

El análisis para el concepto de límite de funciones de una variable encuentra algunas dificultades, por ejemplo ya no es posible recurrir a la gráfica de la superficie

5 , puesto que éstas son más difíciles de obtener; por otra parte la idea intuitiva de que ( ) "tiende" a un punto ( , ) tampoco tiene la simpleza de las funciones de una variable en las...