Matemáticas 2

Matemáticas II

Matemáticas II
Tema 1
Integral indefinida

Objetivo de aprendizaje del tema

P R O F E S I O N A L

Al finalizar el tema serás capaz de:

 Definir el concepto de antiderivada de una función e
integral indefinida.

 Aplicar las propiedades y fórmulas para resolver
integrales.

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Matemáticas IIIntroducción al tema

P R O F E S I O N A L

En el estudio de las derivadas aprendiste
que la derivada de una función representa
su razón de cambio. Por ejemplo, si la
función representa la población de una
región, entonces indica el cambio en la
población cada año. Ahora veremos el
problema contrario, dada la razón de
cambio de una función, queremos obtener la
función original. Ésta se conoce como laantiderivada y al proceso para obtenerla,
antidiferenciación o integración. Si se
conoce la derivada de una función se podrá
encontrar la función original.

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Introducción al tema

P R O F E S I O N A L

 Una aplicación de las antiderivadas es la
de poder relacionar la velocidad de cambio
de una función contra la original. Por
ejemplo, un administrador que conoce la
funciónde costo marginal podría conocer
la del costo para la fabricación de cierto
número de unidades. Otro ejemplo, un
científico que conoce la aceleración de un
vehículo podría desear conocer su
velocidad en un instante dado. La solución
a este problema consiste en encontrar una
función que sea la antiderivada de la que
se conoce.

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Matemáticas II

P R O F E S I O N A L

Integral indefinida
Recuerdas ¿Cómo derivar a
la función f ( x )  x 2 ?
Su derivada es f ( x )  2 x

f (x)
Derivada

Considera la situación inversa,
conocemos la derivada f ( x)  2 x

2x

x2

Ahora necesitamos encontrar
la función
que al derivarse da como
resultado la
función original dada.
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Es decir: F ( x )  x

Integrar

F(x)

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P R O F E S I O N A L

Integral indefinida

Observa lo que ocurre con la derivada cuando se
presentan las siguientes:
Antiderivada

Derivada

F(x)=x2

F´(x)=2x

H(x)=x2+4

H´(x)=2x

G(x)=x2-4

G´(x)=2x

Se puede apreciar que la antiderivada de una función no
es única, ya que al derivar estas tres funciones F(x), H(x)
y G(x), obtenemos la misma función 2x. Podemos
entonces concluirque la antiderivada más general de
esta función será F(x)=x^2+C.

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Matemáticas II

P R O F E S I O N A L

Integral indefinida

La

función

F

que

se

busca

es

llamada

antiderivada de f. El símbolo  indica la
operación contraria a la derivación y es llamado
símbolo de integración. Si observas tiene forma
de “S”,recuerda que este símbolo surge de una
suma infinita.

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1.2 Integral indefinida

P R O F E S I O N A L

En general decimos que:
 La función que se busca es llamada antiderivada de f.
El símbolo indica la operación contraria a la derivación y
es llamado símbolo de integración. Si observas tiene
forma de “S”, recuerda que este símbolo surge de una
suma infinita.
Utilizaremoslas letras mayúsculas para representar las
antiderivadas.

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Matemáticas II

Integral indefinida

P R O F E S I O N A L

 Teorema 1: si F(x) es la antiderivada de f(x) esto lo
representaremos simbólicamente de la siguiente forma

 f (x)dx  F(x)  C
Que se lee como “la antiderivada de la función
f(x) es igual a F(x) másuna constante”.

Donde
  es el símbolo que utilizaremos para indicar que
estamos buscando la antiderivada de f(x) y lo
llamaremos integral.
 f(x) la llamaremos integrando.
 F(x) representa la antiderivada de la función.
 C es la constante de integración.
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Propiedades de la integral

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 Al igual que las derivadas, las integrales también...