Matemáticas 2º Bachillerato - Matrices

MATRICES. SEGUNDO DE BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS.

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MATRICES
Matriz.
Se llama matriz de orden m × n a una tabla de números que consta de m filas y n columnas. La expresamos en la siguiente forma:

⎛ a 11 a 12 ..........a 1n ⎞
⎜
⎟
⎜ a 21 a 22 ..........a 2n ⎟
A = ⎜
.......................... ⎟
⎜
⎟
⎜ a a ..........a ⎟
mn ⎠
⎝ m1 m2
Cuando m = n la matriz escuadrada.
En una matriz el elemento aij se encuentra en la fila i y en la columna j.
abreviadamente una matriz podemos escribirla así:
A = (aij) ; i = 1, 2, 3, 4, ....., m ;

j = 1, 2, 3, 4, .........., n

⎛ 2 1 3 ⎞
Dada una matriz cualquiera, por ejemplo, A = ⎜
⎜ 3 0 2 ⎟ , podemos escribirla
⎟
⎝
⎠
separando sus filas, es decir, A1 = ( 2, 1, 3 ) ;

A2 = (3, 0, 2 )

⎛ 2 ⎞o bien, sus columnas: A 1 = ⎜ ⎟ ;
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠

⎛ 3 ⎞
A 3 = ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠

⎛1 ⎞
A 2 = ⎜ ⎟ ;
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠

Esto significa que podemos pensar en una matriz bien como una tabla de elementos,
bien como un conjunto de vectores puestos en fila,
A = (A1, A2, ......, An)
bien como un conjunto de vectores puestos en columna.
A = (A1, A2, ......, An)
Rango de una matriz.Es el rango de sus vectores fila o sus vectores columna.
Dos matrices son equivalentes si tienen el mismo rango.
Igualdad de matrices.
Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si aij = bij ∀ ij

F. Sánchez Fernández, profesor del IES Poeta Paco Mollà de Petrer (Alicante)

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Matriz traspuesta.
Dada una matriz A = (aij),se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz
que se obtiene cambiando filas por columnas.
Si A es de orden m × n At es de orden n × m
Ejemplo:

⎛ - 1 2
Si A = ⎜
⎜ 0 4
⎝

⎛ − 1 0 ⎞
⎜
⎟
3 ⎞
t
⎟ que es de orden 2 x 3 A = ⎜ 2 4 ⎟ que es de orden 3 x 2.
6 ⎟
⎠
⎜ 3 6 ⎟
⎝
⎠

Matriz simétrica.
Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con sutraspuesta.
Ejemplo:

⎛1 2 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 4 7 ⎟ es simétrica como puede comprobarse.
⎜ 0 7 5 ⎟
⎝
⎠
Obsérvese que doblada por la diagonal principal los números que coinciden son iguales.
Matriz diagonal.
Es la que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. (subíndices iguales).
Ejemplo:

⎛ 5 0 0 ⎞
⎜
⎟
D = ⎜ 0 4 0 ⎟
⎜ 0 0 3 ⎟
⎝
⎠Matriz unidad.
Es la que tiene la diagonal principal formada por unos y los demás elementos nulos. Se
designa por I.
Operaciones con matrices.
Designamos por Mmxn el conjunto de las matrices de m filas y n columnas. Dadas las
matrices A = (aij)єMmxn y B = (bij)єMmxn
F. Sánchez Fernández, profesor del IES Poeta Paco Mollà de Petrer (Alicante)

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Se define la suma de A y B en la forma siguiente:
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij) = C
La suma de matrices verifica las siguientes propiedades:
Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Conmutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: Es la matriz nula de orden m×n. Se denota por O y se verifica
que A + O = A
Elemento opuesto: Cada matriz A tiene su opuesta que se obtienecambiando el
signo de todos sus elementos. Se denota por –A.
El producto de un número real λ por una matriz A = (aij) se define así:
λ.A = λ.(aij) = (λaij)
Verifica las siguientes propiedades:
(α + β)A = αA + βA.
α(A + B) = αA + αB
(αβ)A = α(βA)
I.A = A

.

Por cumplirse las citadas propiedades se dice que la terna (Mmxn,+, ) es un espacio vectorial respecto de las operaciones suma (+)y producto (·).
Ejemplos:

⎛ 5 2 4 ⎞
⎛ 0 1 3 ⎞
⎛ 5 3 7 ⎞
A = ⎜
⎜ - 2 3 1⎟ ; B = ⎜ 2 4 1⎟ ; A + B = ⎜ 0 7 2 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛15 6 12 ⎞
3.A = ⎜
⎜ - 6 9 3 ⎟
⎟
⎝
⎠
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
El producto de matrices se define de la forma siguiente:

A = (a ij...