Matemáticas Basicas

Unidad 4. Matemáticas básicas


Propósitos

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Identificar la teoría de conjuntos, simbología y terminología necesaria para comprender el lenguaje matemático por medio de ejemplos y ejercicios. Exponer la aritmética de los números enteros y números fraccionarios, a través de ejercicios y aplicaciones. Plantear y resolver problemas sencillos de la vida cotidiana mediante la aplicacióndel álgebra, donde se requieran ecuaciones de primero y segundo grado.


4.1. Teoría de conjuntos
A lo largo de las distintas ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos desempeña un papel primordial, debido a que muchas de las identidades y propiedades analizadas en las matemáticas se obtienen de ciertos conjuntos particulares o algunas clases de objetos determinados. Estas ramas sonformalmente definidas a través de la teoría de conjuntos. Como consecuencia, muchas preguntas fundamentales acerca de la naturaleza del estudio de las matemáticas son reducidas a preguntas sobre conjuntos. La teoría de conjuntos proporciona una parte de la simbología utilizada en las matemáticas, como la siguiente: Símbolo Significado Pertenece No pertenece Contenido No contenido Contiene No contieneImplica Igual Diferente Conjunto vacío Complemento de A Unión Intersección Diferencia

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4.1.1. Conceptos básicos
Uno de los conceptos más importantes del estudio de las matemáticas son los conjuntos, ya que todo lo que se estudia es relativo a propiedades de algunos conjuntos en particular. La palabra conjunto no tiene una definición concreta, sin embargo, intuitivamente se entiende que unconjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Dichos objetos toman el nombre de elementos o miembros del conjunto, por ello, de forma equivalente se dice que un objeto pertenece a un conjunto dado. Los conjuntos son representados por letras mayúsculas, por ejemplo, y los elementos, por letras minúsculas , etc. Cuando un elemento pertenece a un conjunto , se denota por , en casocontrario, si no es elemento de se denota por . En resumen, dado un conjunto y un elemento se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: ó . Existen dos formas de describir los conjuntos: 1. Por extensión: Aquí se presentan todos los elementos de un conjunto entre los símbolos de llaves , . Cuando los elementos del conjunto son conocidos y son un número muy grande, se utilizan puntossuspensivos . Por ejemplo, se tienen los siguientes conjuntos:    

. . .

2. Por comprensión: Aquí se usan todas las propiedades que describen a los elementos del conjunto, es decir, si representa un elemento del conjunto y es la propiedad que describe al conjunto, entonces se escribe el conjunto de la siguiente forma: | . En palabras, se dice que “el conjunto de todos los tales que la propiedaden ”. Observa cómo se presentan los conjuntos del ejemplo anterior:     | | | | . . .

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Diagramas de Venn Una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos son los llamados diagramas de Venn, que son representaciones gráficas de conjuntos, con los cuales se pueden visualizar algunas propiedades de que se presenten en los conjuntos. Usualmente se representa el conjunto universal comoun rectángulo y con regiones dentro de él, se muestran los distintos conjuntos en cuestión. Por ejemplo, si se desea representar que en un diagrama de Venn, la siguiente figura es ilustrativa:

Contención de conjuntos Anteriormente, se explicó la relación de pertenencia que hay entre un elemento y un conjunto, ahora se estudiará la relación de contención, que se da entre dos conjuntos dados. Seany dos conjuntos, se dice que es subconjunto si y solo si todo elemento de es elemento de y se denota por , en caso contrario . En símbolos, se tiene que si y solo si dado , lo anterior se lee de la siguiente manera: dado elemento de implica que es elemento de . Cuando es común utilizar equivalentemente la palabra contenido, es decir, está contenido en . Además, se define que incluye o contiene...