Matex Polinomios 1

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

POLINOMIOS

SOCIALES

MaTEX
Polinomios

Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Polinomios
1.1. Operaciones con los polinomios
• Suma de polinomios • Producto depolinomios • Cociente de
polinomios
1.2. Divisi´
on por x − a. Algoritmo de Ruffini
1.3. Valor num´
erico de un polinomio. Teorema del Resto
2. Factorizaci´
on de polinomios
2.1. Ra´ız de un polinomio.
2.2. M´
etodos de Factorizaci´
on
3. Fracciones Algebraicas
3.1. Operaciones con fracciones algebraicas
• Suma de fracciones algebraicas • Producto y divisi´on de fracciones
algebraicas
Soluciones alos Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

SOCIALES

MaTEX
Polinomios

Tabla de Contenido

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Secci´
on 1: Polinomios

3

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

1. Polinomios

A

Definici´
on 1.1 Un polinomio, P (x) en x es una expresi´
on algebraica finita
de sumas, diferencias y productos de x con valores num´ericos constantes.

d
B
s=B+mv

SOCIALES

Los n´umeros ai son los coeficientes del polinomio. El grado del polinomio es
el mayor exponente de x.

MaTEX

Ejemplos de polinomios en x son:
a) P (x) = 2 x + 1 es un polinomio de grado 1 o lineal.
b) Q(x) = 3 x2 − 5 x + 1 es un polinomio de grado 2 o cuadr´atico.
c) R(x) = 2 x3 − 4 x2 + 5 es un polinomio de grado 3 o c´
ubico.
d ) T (x) = 2 x8 − 4 x6 + 5x − 1 es un polinomio de grado 8.
Al referirnos algrado de un polinomio escribiremos abreviadamente gr(P (x)),
as´ı en los ejemplos anteriores tenemos
gr(P (x)) = 1

gr(Q(x)) = 2

gr(R(x)) = 3

Polinomios

P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

gr(T (x)) = 8

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Secci´
on 1: Polinomios

4

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

1.1. Operaciones con los polinomios

A

• Suma de polinomios

d

Para sumar dos polinomios sesuman los t´erminos semejantes.

B
s=B+mv

SOCIALES

P (x) = 2 x4 − 5 x3 + 6x2 − x + 3 Q(x) = −x4 + 6x3 − 5x2 − 2x − 1.
Soluci´
on:
Para sumarlos es convenientes colocar los polinomios de forma que coincidan
los t´erminos semejantes o de igual grado.
P (x) =

2 x4

−5 x3

+6x2

−x

+3

Q(x) =

− x4

+6 x3

−5x2

−2x

−1

P (x) + Q(x) =

x4

− x3

+x2

−3x

+2

MaTEX
Polinomios

Ejemplo 1.1. Sumarlos polinomios

Ejercicio 1. Efectuar las sumas de los polinomios:
a) P (x) = −3x5 + 2x4 − x3 + 6x2 − 7 Q(x) = 2x4 − 2x3 + 5x2 + x
b) A(x) = 4 − 8x + 5x2 − x3

B(x) = 5 + 6x − 5x2
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Secci´
on 1: Polinomios

5

r=A+lu

• Producto de polinomios

A

Para multiplicar dos polinomios P (x) · Q(x) se multiplica cada t´ermino
de uno de ellos por todos los t´erminos del otropolinomio.
Ejemplo 1.2. Multiplicar los polinomios
P (x) = 7 x − 3 x + 5

SOCIALES

Q(x) = 2x − 3.

Soluci´
on:
Es conveniente disponer los c´
alculos como se muestra a continuaci´on:
7x2

−3x

+5

2x

−3

−21x2

+9x

−15

14x3

−6x2

+10x

14x3

−27x2

+19x

P (x) =

d
B
s=B+mv

Q(x) =

−15

MaTEX
Polinomios

2

P (x) Q(x) =

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Ejercicio 2. Multiplicar los polinomios:
P (x) =4x2 − 3 x + 2

Q(x) = x2 + 2 x − 5
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6

• Cociente de polinomios
Algoritmo de la divisi´
on. Los pasos a seguir para dividir dos polinomios,
N (x)
gra(N (x)) ≥ gra(D(x))
D(x)
siendo N (x) el numerador o dividendo y D(x) el divisor:
a) Ordenamos los t´erminos del numerador N (x) y del divisor D(x) de
forma que las potencias de x sean decrecientes.
b) Dividimos el primer t´erminodel numerador por el primer t´ermino del
divisor. Esto da el primer t´ermino del cociente C(x).
c) Ahora, multiplicamos el t´ermino del cociente calculado por el divisor y
restamos al dividendo el producto calculado. El resultado es el resto.
Si el grado del resto es menor que el grado del divisor, fin de la
divisi´on.
En caso contrario se divide el resto entre el divisor como en el
apartado b)...