matrices matematicas

Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Matrices y determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES
1.(97).- Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que AAt = I. Si A y B son dos
matrices ortogonales de igual tamaño, analizar si AB es una matriz ortogonal.
2.(97).- Resolver la ecuación:

1+ x

1

1

1

1+ x

1

1

1

1

1+ x

1

13.(97).- Sea la matriz :

1

1

1

1+ x

=0

1 0 1


A =  0 − 1 0  . Hallar razonadamente la matriz An donde n es un
0 0 1



número natural cualquiera.
4.(97).- Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo:
a+b
b+c
c+a
a

∆ = a '+ b'
b'+ c'
c'+a '
a ' '+ b' ' b' '+ c' ' c' '+a ' '

5.(97).- Sean:

 0 − 1
A=
1 1 




a b
M=
c d .



b c
∆ 1 = a ' b ' c'
a ' ' b ' ' c' '

Determinar las relaciones entre a, b, c y d para

que AM=MA.
6.(99).- Hallar, en función de a, el valor del determinante:
a a a a

∆=

2 a a a
3 2 a a

4 3 2 a
7(00).- Para una matriz cuadrada, se define su traza como la suma de los elementos de su diagonal
principal. En lo que sigue A y B son matrices cuadradas 2x2.
a)Comprobar que se verifica Traza(A+B) = Traza(A) + Traza(B).
b) Comprobar que Traza(AB) = Traza(BA).
c) Utilizando los resultados anteriores, demostrar que es imposible tener AB−BA = I, donde I
denota la matriz identidad.
d) Encontrar dos matrices A y B para las que Traza(AB) ≠ Traza(A).Traza(B).

1 1 1
0


 
8(01).- Sea k un número natural y sean las matrices A =  0 1 0  , B =  1  ,C = (1 1 2 )
0 0 1
 − 1


 
a) Calcular Ak.
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación AkX = BC.
3
4 
0


9(01).- Dada la matriz A =  1 − 4 − 5  . Se pide:
 −1 3
4 


a) Comprobar que se verifica la igualdad A3 + I = O.
b) Justificar que A tiene inversa y obtener A−1.
c) Calcular A100.

Manuel Ruiz

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Enunciados de problemas de selectividad.Matemáticas II. Matrices y determinantes

10(mod).- Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + 2A = I, siendo I la matriz identidad.
a) Demostrar que A es no singular ( detA ≠ 0) y expresar A−1 en función de A e I.
b) Calcular dos números p y q tales que A3 = pI + qA.
0 1
c) Si A = 
 1 k  cumple la relación de partida, calcular el valor de k.




11(mod).- Sean las matrices

 1 0− 1
 1 0 2




A =  −1 0 2  , B =  −1 1 0 
0 1 0
 1 0 3





a) Calcular A−1
b) Resolver la ecuación matricial: AX = BA.
12(02).- Calcular el rango de la matriz A , según los diferentes valores del parámetro real a:
0
a
2 
 2
 −1
A=
0
−1 3 

 5 a + 4 −4 −3 


13(02).- Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad: A2 =I, siendo I la matriz
unidad de orden n. Se pide:
a) Expresar A−1 en términos de A.
b) Expresar An en términos de A e I, para cualquier número natural n.
1 1 
c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz: A = 

0 a 
14(mod).- Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica: M2 − 2M = 3I. Se pide:
a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo, expresarM−1 en términos de M e I.
b) Expresar M3 como combinación lineal de M e I.
a b
c) Hallar todas las matrices de la forma M = 
 que verifican la identidad del enunciado.
b a 

1 1
15(mod).- Hallar todas las matrices X tales que: X A = A X, siendo A = 

0 1
16(03).- Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad:

a2

ab

b2

1

1

1

2aa + b 2b = (a − b )3

17(03).- Encontrar un número real λ ≠0, y todas las matrices B de dimensión 2×2 (distintas de la matriz
nula), tales que:
λ 0
3 0
B⋅
 3 1  = B⋅ 9 3 







18(03).a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = AB. Comprobar que entonces
se tiene la fórmula: (I − B)−1 = −B−1A, (donde I denota la matriz identidad)....