Matrices y determinantes

Universidad Veracruzana Algebra Lineal Facultad de Ingeniería Civil - Xalapa ____________________________________________________________

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Operaciones con Matrices Simplifique las expresiones siguientes:

A A 4B

2B A B
A B
2

A2 7 B2 3 AB

A B A B

Matriz Transpuesta LaTranspuesta de una matriz A , es la matriz cuyas columnas son las filas de la matriz A , se representa por At . Ejemplos: Para las matrices siguientes escriba sus transpuestas:
A 2 7

8 0

;

B

1 2 4 5 2 7 8 0

7 6

y

C
1 2 4 5

1 3 4
1 3 4

Las transpuestas son: A

t

;

B

t

y

C

t

7 6

Propiedades de la Matriz Transpuesta:
A B c At A B
At
t

t

At cAt

Bt

t

Bt At
A
t

A B C A B C
t

At

Bt

Ct

C t Bt At

Matrices Simétricas

A Matriz cuadrada, es una matriz simétrica, si A

At .

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_ Ing. Arturo Ortiz Cedano Marzo 2010

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Ejemplos: A

2 5

5 ; 1

0 B 1

1 7

4 8 . 3

4 8

La matriz siguiente representa distancias entre ciudades:

dist Xal Ver

Xal Ver 0 105 105 0

Pue Mex 240365 350 470 110 0

Pue 240 365 0 Mex 350 470 110
Traza de una matriz

Sea A una matriz cuadrada, la Traza de A , denotada por tr ( A) es la suma de los elementos de la diagonal principal. Si A es una matriz m n , entonces tr A Propiedades

a11 a22 a33  ann :

tr A B tr A B

tr A tr B A

tr B

tr c A
tr At

c tr A
tr A

Matrices con elementos complejos Sean A
2 i 3 2i 4 2iy

B

3

2i

1 i 2 3i

.

Calcule: A B ,
A B 5 2i 5 i

2A y A B :
3 2 8i

;

2A

4 2i 6 4i 8 10i 10 9i 15 18i

,

Verifique si es cierto que: A B

11 4i 7 5i

.

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_ Ing. Arturo Ortiz Cedano Marzo 20102

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Conjugado de una matriz compleja El conjugado de una matriz compleja A , representado por A , se obtiene al tomar el conjugado de cada uno de loselemento de la matriz A . La transpuesta conjugada de A , se escribe y se define por A* Ejemplo: sea A
2 3i 1 4i 6 7i

A.

t

Así A

2 3i 1 4i 6 7i

, luego

A

t

2 3i 1 4i

6 7i

.

Matriz Hermitiana Una matriz cuadrada es Hermitiana , si: C Ejemplo: sea C
2 3 4i 3 4i 3
C* . C * , por tanto C es una matriz hermitiana.

, es claro que C

Propiedades de la transpuestaconjugada. Sean A y B matrices con elementos complejos y z un número complejo, entonces:
A B z A
* *

A* z A*

B*

A B
A*
*

*

B* A*
A

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_ Ing. Arturo Ortiz Cedano Marzo 2010

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La inversa de una Matriz Comentario motivacional: Inverso multiplicativo de un número real Si un número real b es el inverso de un número a , entonces a b 1 y b a 1 . Ejemplo
3 4 es...