Matrices y Determinantes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR
Ley N° 529 del 28 de Diciembre de 1994
FACULTAD DE CIENCIAS APLICADAS
Resolución N° 80/95 del 30 de Junio de 1995
Sede San Ignacio Guasú – Misiones

1. Asignatura: Algebra Elemental y Superior.-
2. Carrera: Ingeniería Industrial.-
3. Director:Ing. Ángel Fabián Cantero Villalba.-
4. Profesor:Lic. Pascual Jiménez Sánchez.-
5. Unidad: MATRICES YDETERMINANTES.-
En un Colegio de Educación Media, en el primer curso del turno mañana están matriculados 35 alumnos; en el segundo curso, 30 y en el tercer curso, 32. En el primer curso del turno tarde están matriculados 30 alumnos; en el segundo curso, 25 y en el tercer curso, 22. Se pide que se distribuyan dichos datos en una tabla, por curso y por turno.
1º Curso 2º Curso 3º Curso
T. Mañana 35 30 32T. Tarde 30 25 22

Concluir que una matriz es un ordenamiento de elementos de la misma especie en filas y columnas.
a11a12 … a1n
a21a22 ... a2n
A = .
am1 am2 … amn

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por letrasminúsculas, a, b, ......
Los sub-índices indican la posición de cada elemento dentro de la matriz. El primer número indica en que fila se encuentra y el segundo en que columna.
El tamaño o forma de la matriz está dada por m x n(nº de filas x nº de columnas)
En el caso de la matriz del ejemplo de los alumnos matriculados en el Colegio de Educación Media, el tamaño de la matriz es 2 x 3.
Algunos tiposde matrices
Matriz cuadrada: es la que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Ejemplo: Sean las matrices

A = 1 2 -3
4 0 5
3 -1 2
B = 2 -3
-1 5

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
La diagonal (o diagonal principal) de A y de B consiste en los elementoscuyos sub índices m y n son iguales. En el caso de la matriz A: 1, 0 y 2 yen el caso de la matriz B: 2 y 5.
La traza de una matriz, escrito trM, es la suma de los elementos diagonales.
En el caso de A: tr A = 1 + 0 + 2 = 3
En el caso de B: tr B = 2 + 5 = 7
Matriz identidad: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a “1” y “0” en las demás posiciones. Se denota por I. También se los denomina Matriz Unidad.
Matrizdiagonal: una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).
Matriz triangular: una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriztriangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices



son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4 respectivamente.

Opuesta de una matriz: la opuesta de una matriz A consiste en otra matriz cuyos elementos son iguales al del primero pero cuyos signos son contrarios. Asi, la opuesta de
A = 5 3 -2
1 -5 6
7 -4 8
- A= -5 -3 2
-1 5 -6
-7 4 -8

Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
A = 3 -1 4
2 5 -7
4 0 9
AT = 3 2 4
-1 5 0
4 -7 9

La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T =kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BT AT.
Matriz simétrica
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:

A = 2 -3 5
-3 6 7
5 7 -8
B = 0 3 -4
-3 0 5
4 -5 0

C = 1 0 0
0 1 0
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo...