MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES


Definición de matriz :
Se llama matriz de orden o dimensión m x n a un conjunto de números distribuidos en m filas y n columnas, encerrados entre paréntesis de la forma:


Se representa por A o (aij)

Tipos de matrices:
 matriz fila
 matriz columna
 matriz nula
 matriz cuadrada ( los elementos donde i=j forman la diagonal principal)
 matriz diagonal ( debe sercuadrada): matriz unidad I
 matriz simétrica ( aij=aji )
 matriz antisimétrica ( aij=-aji)
 matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal son nulos.
 matriz traspuesta A' ( de otra B): es cuando verifican que aij = bji
 matriz opuesta A ( de otra B): es cuando verifican que aij = -bij

Operaciones conmatrices
1. Suma de matrices: se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar
2. Producto de un número real por una matriz: se obtiene multiplicando cada uno de los elementos por ese número.
3. Multiplicación de matrices: se obtiene multiplicando cada una de las filas de la 1ª matriz por cada una de las columnas de la otra. Ojo : no se cumple la propiedad conmutativa.

Matriz inversaA-1 :
Se dice que una matriz B es inversa de otra matriz A si se cumple que A•B=I .
A la matriz B inversa de A se simboliza por A-1.
Se puede calcular de 3 formas:

1. A partir de la definición
2. Por el método de reducción de Gauss
3. Por determinantes

Una matriz se dice que es invertible o regular si posee inversa. En caso contrario se dice que es singular.



DETERMINANTESIntroducción :
Sean los números 1,2,3,....n. Con estos números se pueden formar n! permutaciones.
A la permutación 1,2,3,.....n se le llama permutación principal.
Si se cambian de su lugar natural se dice que tenemos una inversión. Por ejemplo:
2 3 1 4 5 6.... tiene dos inversiones (nº de pasos que hay que dar para obtener la permutación principal )
Una permutación se dice que es par(impar) siel nº total de inversiones es par (impar).
Se llama índice de una permutación al nº total de inversiones.

Definición de determinante:
Sea una matriz cuadrada A n x n, se llama determinante de la matriz y se representa por /A/ a la suma de todos los productos de n factores que se pueden formar tales que cada producto tenga un elemento y solo uno de cada fila y cada columna anteponiendo el signo+ o - dependiendo si la permutación de los subíndices de las filas y columnas son de la misma o de distinta clase. Por ejemplo: a12• a23•a31 tenemos:
1 2 3 .....par
2 3 1 .....par
Luego el signo es +

Determinante de 2º y 3º orden:
=a11a22 - a12a21
=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Aunque este último se recuerda mejor por la regla de SarrusPropiedades de los determinantes:
1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta
2. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas su determinante cambia de signo
3. Un determinante que tiene dos líneas paralelas iguales vale 0
4. Si un determinante tiene todos los elementos de una línea nulos, el determinante vale 0
5. Si se multiplica un determinante por un nº real quedamultiplicado por dicho nº cualquier fila o columna
6. Se puede desarrollar un determinante por los elementos de una fila o columna. Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo el signo + o- si i+jes par o impar. El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: /A/ = a11A11+a12A12+............+a1nA1n
7. La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de los elementos de una línea paralela a ella es 0
8. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se...