Matrices Y Determinantes

CURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
Sean A, B y C tres matrices y e un valor escalar.
Propiedad asociativa:
Podemos sumar A + B y a su resultado  sumarle C.
Propiedad conmutativa:
A + B = B + A
Propiedad distributiva:
 e(A+B)=eA + eB
 
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
Sean A, B y C tres matrices.
Propiedad asociativa:
Podemos multiplicar A(B x C) = B (A x B) C
Tenemos las 3 matrices siguientes:

mucho cuidado EN RESPETAR EL ORDEN ALFABÉTICO DE LAS LETRAS QUE REPRESENTAN A LAS MATRICES:

Vemos que obtenemos el mismo resultado, pero teniendo muy en cuenta el orden. NO PODEMOS ALTERAR EL ORDEN DE LOS FACTORES.
NO EXISTE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA EN LAS MATRICES(salvo casos especiales de coincidencias de ciertos elementos).
 Vamos a comprobarlo:

Ejercicio #24
¿Por qué, en general, no existe propiedad conmutativa en el producto de matrices?
 
Respuesta: No se obtiene el mismo resultado multiplicando filas del multiplicando por columnas del multiplicador que multiplicando filas del multiplicador por columnas del multiplicando, salvo que hayan especiales circunstancias de coincidencia de elementos en ambas matrices.CALCULAR EL RANGO DE LAS  MATRICES
 
No siempre es tan sencillo calcular el rango, a veces, es algo más complicado pero si llevas a cabo los pasos siguientes no hallarás dificultades.

Vamos a obtener matrices escalonadas porque sabemos que si una fila solamente contiene ceros será linealmente dependiente.
 
Para obtener una matriz escalonada el elemento (2  1), es decir, el 4 lo hemos deconvertir en 0 y para ello, multiplicamos a los valores de  la F1 (fila 1) por  4 y vamos restando a los valores de F2 (fila 2) tal como queda indicado más abajo:
Antes de comenzar a realizar algunas operaciones recordarte el orden jerárquico de los signos. Primero se hacen multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas:

Siguiendo con la construcción de una matriz escalonada, elelemento que se halla en la posición (3  1) que es el 7 también ha de ser igual a cero y para ello multiplicamos a los valores de la fila 1 (F1) por -7 y vamos restando de los valores de F2:

Recuerda que tratamos de obtener una matriz escalonada. En este momento el valor situado en (3   2),  -6 ha de ser cero por lo que debo dirigirme a la F2 que ya comienza su fila con el valor cero. Norelaciono F3 con F1 porque obtendría un valor para el lugar (3   1) que ya lo tengo y es cero.
Multiplico a cada valor de F2 por – 2  y resto de los valores que tengo en F3:

Observo que tengo dos filas linealmente independientes o dos filas que no son ceros, luego el rango vale 2.

Ejercicio #30  
Calcula el rango de la matriz:

Respuesta: rang (D) = 2
Solución
Siempre has de tratar deconseguir que el primer elemento de la 2ª  fila (2   1) sea 0. Seguidamente, el (3   1) también, y así hasta lograr que a partir de la 2ª fila, los elementos de la 1ª columna sean ceros.
Una vez que lo hayas conseguido y si ves que todavía no sabes el rango de la matriz, debes tratar que el 2º elemento de la 3ª fila sea cero, es decir, tratar de obtener una matriz escalonada.
En cuanto veas que laúltima o últimas filas completas sus elementos son iguales a cero has terminado con el cálculo. Cuantas las filas independientes y ya tienes su rango.
Esto es lo que ves a continuación paso a paso:

Vemos que dos filas son linealmente independientes, luego el rango de esta matriz es 2.
 
Ejercicio #31 
Calcula el rango de la matriz siguiente:

Respuesta: r(A) vale 3
Matriz inversa (II)(método de Gauss):
Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.
 
Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.

Como ya...