Matrices Y Metodo Gaussiano

Lecci´n E o

Sistemas de ecuaciones lineales. M´todos directos e
En esta lecci´n estudiamos la soluci´n de un sistema de Cramer Ax = B, lo que significa que A es o o regular o invertible o que verifica det(A) = 0, mediante un m´todo directo. Siendo ´ste cualesquiera e e que permita, en ausencia de errores, mediante un n´mero finito de pasos obtener la soluci´n exacta. u o En propiedad, esto noocurre en general debido a los inevitables errores de redondeo.

E.1.

Sistema triangular inferior. Sustituci´n progresiva o

Consideremos el sistema Lx = B con L una matriz triangular inferior, es decir que verifica lij = 0 para j > i lo que significa que nuestro sistema toma la forma: l11 x1 l21 x1 + l22 x2 . . . . . . .. . = b1 = b2 . . . + lnn xn = bn

ln1 x1 + ln2 x2 + . . .

La reglade sustituci´n progresiva consiste en despejar x1 de la primera ecuaci´n (es inmediato o o poniendo x1 = b1 /l11 ) y continuar el proceso mediante la sustituci´n de x1 en la segunda ecuaci´n o o para obtener el valor de x2 y as´ sucesivamente. En definitiva, la unica soluci´n (x1 , x2 , . . . , xn ) ı ´ o est´ caracterizada por ser: a xk = 1 lkk
k−1

bk −
j=1

xj

lkj lkk

o Pr´ctica a Conla orden type e_sp obtenemos el listado de la funci´n Mt\e_sp.m definida en el a libro [6], p´g 163, y que permite resolver un sistema cuadrado, regular y triangular inferior a en el que se dan como datos la matriz regular L y el vector B. Como ejemplo de aplicaci´n o de dicha funci´n resolvemos el sistema de ecuaciones o x1 2x1 + 3x2 = 1 = 2

x1 + 2x2 + 3x3 = 4 31

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´ ´ LECCION E.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. METODOS DIRECTOS para lo que ejecutamos el gui´n o flops(0); %comenzamos a contar el n´mero de operaciones u A=[1 0 0;2 3 0;1 2 3]; b=[1 2 4].’; x=e_sp(A,b).’, flops con ´l obtenemos la unica soluci´n del sistema, x = (1, 0, 1), y el n´mero de operaciones e ´ o u “flops” necesarias para obtenerlo, 12. En general, para un sistema regular y triangular inferior de necuaciones reales el n´mero de operaciones necesarias para resolverlo es del orden de u 2 ). n(n + 1) = O(n Resolvemos tambi´n los sistemas triangulares inferiores siguientes: e 7x1 x1 − x2 = 7 = 4.1 ; 28x1 34x1 − 26.2x2 = 7 = 4.1

0.5x1 + 7.82x2 − 24.97x3 = −151.114

3x1 + 7.82x2 − 2.497x3 = −15.1

E.2.

Sistema triangular superior. Sustituci´n regresiva o

Consideramos ahora el sistema U x =B con U una matriz triangular superior, es decir que verifica sij = 0 si i > j. La regla de sustituci´n regresiva consiste en despejar de abajo hacia arriba o de forma an´loga a la anterior con lo que obtenemos que la unica soluci´n x = (x1 , . . . , xn ) del a ´ o sistema U x = B est´ dado por la regla: a 1 xk = bk − u kk
n

xj
j=k+1

ukj ukk

Pr´ctica b Con la orden type e_sr obtener yestudiar el listado de la funci´n Mt\e_sr.m dea o finida en el libro [6], p´g 165, que resuelve mediante la regla de sustituci´n regresiva un a o sistema cuadrado, regular y triangular superior, a partir de los datos: U la matriz del sistema y B el vector de los t´rminos independientes. Probar la eficacia del programa resolviendo los e sistemas: x1 + 4x2 + 5x3 = 1 3x2 + 2x3 = 2 ; 3x3 = 6 3x1 − x2 +2x3 = 12 7x2 + 7x3 = 21 −21x3 = −42

E.3.

M´todos exactos para sistemas generales e

Antes de comenzar a describir los m´todos de resoluci´n de sistemas generales vamos a recordar e o ´ algunos elementos de Algebra Lineal Elemental Sea E : Mm×n (K) → Mm×n (K) una transformaci´n en el conjunto de matrices de orden m × n. o Diremos que E es una transformaci´n elemental si o E(A) se obtiene apartir de A intercambiando la columna (resp. fila) i-´sima por la j-´sima, e e i = j.

´ E.3. METODOS EXACTOS PARA SISTEMAS GENERALES E(A) se obtiene a partir de A multiplicando la columna (resp. fila) i-´sima por λ = 0. e

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E(A) se obtiene a partir de A sumando a la i-´sima columna (resp. fila) la j-´sima columna e e (resp. fila) multiplicada por λ = 0, i = j. Es importante observar: 1. Si...