Matrices

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO

M. I. A.

MATRICES Definición: Una matriz A, es un arreglo rectangular de elementos ordenados en m filas y n columnas.  a 11 a 12 L a 1n  a   21 a 22 L a 2 n  A = a ij =  M M L M    a m1 a m 2 L a mn 

[ ]

donde A es el nombre de la matriz, aij es el elemento en el renglón i y la columna j. El orden o dimensión de una matriz está dado por elnúmero de filas y columnas, es decir una matriz de m filas y n columnas es de orden mxn Si una matriz tiene sólo una fila se le denomina matriz fila o vector fila y si tiene una sola columna se le denomina matriz columna o vector columna.  a1  a  vector fila [a 1 a 2 K a n ]1xn vector columna  2   M    a m  mx1 Una matriz que tiene el mismo número cuadrada. 1 2  7  de filas que decolumnas se denomina matriz

3 1 − 3  4 − 2 3 x 3  2

Si el número de filas no es igual al número de columnas se la llama matriz rectangular.

− 1 2   0 − 3   4 7  3x 2  
Diagonal principal. En una matriz cuadrada, la diagonal principal es el conjunto de elemento aij tales que i = j.

 1 −2 4  − 3 8 2    6 − 5 − 1  
La diagonal principal esta formada por loselementos 1, 8, -1 Matriz diagonal.
Matemáticas (propedeutico) 1 M. en C. José Luis Hernández González

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M. I. A.

Es una matriz cuadrada en que los elementos no diagonales son todos cero.

Matriz identidad. Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a 1 y los demás son cero.

1 0 0  0 8 0    0 0 −1  

10 0  I = 0 1 0    0 0 1   
Matriz nula. Es aquella donde todos lo elementos son cero.

0 0 0  0 0 0    0 0 0   
Matriz triangular superior. Es una matriz en que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.

1 − 2 4  0 8 2   0 0 − 1  
Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada en que aij = aji, para todo i,j.

 1 −2 4  − 2 8 2   4 2 − 1 
Traza de una matriz. Es la suma de los elementos de la diagonal principal Tr (A) = ∑ a ij

 1 −2 4  B = − 2 8 2    4 2 − 1  
Tr (B) = 1 + 8 − 1 = 8

Matriz transpuesta. En una matriz A, su transpuesta At o A’, es una matriz cuyas filas son la columnas de A.
Matemáticas (propedeutico) 2 M. en C. José Luis Hernández González

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 27 − 3 A=  − 1 8 4  2 x 3

 2 − 1 A = 7 8   − 3 4  3x 2  
t

Suma de matrices. Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. La suma de A y B, denotada por A + B, es la matriz obtenida al suma los elementos correspondientes de A y B.

 a 11 a  21  M  a m1

a 12 a 22 M a m2

L a 1n   b11 L a 2 n   b 21 + L M   M   L a mn  b m1

b12 b 22 M b m2

L b1n  a 11 + b11 L b 2 n   a 21 + b 21 = L M   M   L b mn  a m1 + b m1

a 12 + b12 a 22 + b 22 M a m2 + b m2

L a 1n L a 1n L L a mn

+ b1n  + b1n    M  + b mn 

Ejemplo:

1 − 3 3   1 − 1 0   2 − 4 3  2 2 − 1 + 2 6 − 3 = 4 8 − 4       4 8 0  3 1 5  7 9 5       
Multiplicación escalar. El producto de un escalar k y una matriz A, denotado como kA oAk, es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de A por k.

 a 11 a k  21  M  a m1
Ejemplo:

a 12 a 22 M a m2

L a 1n   ka 11 L a 2 n   ka 21 = L M   M   L a mn  ka m1

ka 12 ka 22 M ka m 2

L ka 1n  L ka 2 n   L M   L ka mn 

 − 1 3 4  − 2 6 8  2 =   2 0 3  4 0 6 
También definimos que. -A = (-1)A y A – B = A + (–B )

Matemáticas(propedeutico)

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M. en C. José Luis Hernández González

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Multiplicación de matrices. Sean A y B dos matrices tales que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, el producto de A y B, es la matriz que se obtiene multiplicando a los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B y luego sumando...