Matrices
Páginas: 2 (304 palabras)
Publicado: 19 de marzo de 2013
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
Semestre de Verano 2013
MAT1492- Gu´ de Matrices
ıa
1. Considere las siguientes matrices:
A=
101
300
440
C=2
−1
1
−2
1
2
−2
1
0 −1
0
3
B=
−2
4
0
−1
D=
1
0
2
2
2
2
0
0
−1
−3
−1
11
1
−4 0 −1
−3 0 −4
Determine:
a ) AB
b ) 5A + 3D
c) Bt +D
d ) C2
e ) 2A − D
f ) BCDt
Nota: B t se llama traspuesta, y es la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas,
es decir, los (bij ) por los (bji )
2. Determine A = (aij ) detama˜o
n
a ) (5 × 6) tal que aij = min{i, j }
b ) (3 × 4) tal que aij = max{i, j }
c ) (4 × 4) tal que aij = 2i − j
d ) (4 × 3) tal que aij = 2i + j
e ) (2 × 3) tal que aij = i2 − j 2
f ) (3 × 3)tal que aij =
3. Sea A =
i2
j
si i = j
si i = j
0 −1
, calcule A4n , A4n+1 , A4n+2 , A4n+3 para todo n ∈ N.
1
0
1
207
−x −14x
7x
100
1
0 = 0 1 0 .
4.Determine x ∈ R tal que 0 1 0 0
121
x
4x −2x
001
100
5. Calcule A100 si A = 1 0 1 .
010
6. Sea α ∈ R, calcule An para todo n ∈ N si
11
.
01
a) A =
110
b ) A = 0 1 1 .
001
111
c ) A = 0 1 1 .
001
7. Encuentre todas las matrices (2 × 2) que conmutan con
a)
10
.
03
b)
11
.
10
8. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de tama˜o 5 ×5 donde
n
aij =
1 si i + 1 = j
0 si i + 1 = j
Pruebe que A5 = I y A4 = 0.
2
0
−1
1 y B = 1 .
9. Sea A = 1
1 −1
1
a ) Calcule A(At A)−1 At .
b ) Calcule B (B t B)−1 B t .
c ) Verifique que A(At A)−1 At + B (B t B )−1 B t = I .
2
10. Sea B una matriz cuadrada tal que B 3 − B 2 − 5B + 5I = 0. Escriba B −1 en funci´n de B .
o
11. Demuestre que si A es unamatriz cuadrada tal que A2 = 0, entonces I − A es invertible.
12. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A3 = 0, entonces I − A es invertible.
13. Calcule la inversa de las siguientes...
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
Semestre de Verano 2013
MAT1492- Gu´ de Matrices
ıa
1. Considere las siguientes matrices:
A=
101
300
440
C=2
−1
1
−2
1
2
−2
1
0 −1
0
3
B=
−2
4
0
−1
D=
1
0
2
2
2
2
0
0
−1
−3
−1
11
1
−4 0 −1
−3 0 −4
Determine:
a ) AB
b ) 5A + 3D
c) Bt +D
d ) C2
e ) 2A − D
f ) BCDt
Nota: B t se llama traspuesta, y es la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas,
es decir, los (bij ) por los (bji )
2. Determine A = (aij ) detama˜o
n
a ) (5 × 6) tal que aij = min{i, j }
b ) (3 × 4) tal que aij = max{i, j }
c ) (4 × 4) tal que aij = 2i − j
d ) (4 × 3) tal que aij = 2i + j
e ) (2 × 3) tal que aij = i2 − j 2
f ) (3 × 3)tal que aij =
3. Sea A =
i2
j
si i = j
si i = j
0 −1
, calcule A4n , A4n+1 , A4n+2 , A4n+3 para todo n ∈ N.
1
0
1
207
−x −14x
7x
100
1
0 = 0 1 0 .
4.Determine x ∈ R tal que 0 1 0 0
121
x
4x −2x
001
100
5. Calcule A100 si A = 1 0 1 .
010
6. Sea α ∈ R, calcule An para todo n ∈ N si
11
.
01
a) A =
110
b ) A = 0 1 1 .
001
111
c ) A = 0 1 1 .
001
7. Encuentre todas las matrices (2 × 2) que conmutan con
a)
10
.
03
b)
11
.
10
8. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de tama˜o 5 ×5 donde
n
aij =
1 si i + 1 = j
0 si i + 1 = j
Pruebe que A5 = I y A4 = 0.
2
0
−1
1 y B = 1 .
9. Sea A = 1
1 −1
1
a ) Calcule A(At A)−1 At .
b ) Calcule B (B t B)−1 B t .
c ) Verifique que A(At A)−1 At + B (B t B )−1 B t = I .
2
10. Sea B una matriz cuadrada tal que B 3 − B 2 − 5B + 5I = 0. Escriba B −1 en funci´n de B .
o
11. Demuestre que si A es unamatriz cuadrada tal que A2 = 0, entonces I − A es invertible.
12. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A3 = 0, entonces I − A es invertible.
13. Calcule la inversa de las siguientes...
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