Matrices

MATRICES


Intervalo Natural Inicial:
= { 1 ; 2 ; 3; 4; .....; n }, es el conjunto formado por los n primeros números naturales.
Tomemos dos intervalos naturales iniciales y calculemos el producto cartesiano de dichos conjuntos:

Definición:
Se llama matriz “ p x q “ conelementos en K a toda función cuyo dominio es el producto cartesiano de dos intervalos naturales iniciales y codominio un cuerpo ( en nuestro caso los reales ).

f : K / f ( i ; j ) =

La matriz “ f ” queda caracterizada por el conjunto de las imágenes y se escribe como un cuadro de ( p. q ) elementos dispuestos en p filas y q columnas segúnel ordenamiento natural. Llamaremos A a la matriz cuyo elemento genérico es .
A = forma explícita de la función

La imagen de ( i ; j ) es un número perteneciente a K que está ubicado en la fila i y en la columna j y se denota :
Tanto las filas como las columnas se llaman líneas.
También se denota a la matriz A con (( )) o [ ]
Con K se denota al conjunto detodas las matrices de p x q con elementos en K.

MATRIZ CUADRADA
Es toda matriz que tiene igual cantidad de filas que de columnas ( p = q ), es decir, los intervalos naturales iniciales son iguales. En dicho caso diremos que la matriz es de orden p
.
MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNA
Es toda matriz que posee unasola columna ( p x 1 ).

MATRIZ FILA O VECTOR FILA
Es toda matriz que posee una sola fila ( 1 x q ).

IGUALDAD DE MATRICES

A = B

SUMA DE MATRICES

A +B / A+B = [] + [] = [+]

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ - PRODUCTO EXTERNO



ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES REALES ( RR ; . )

Demostraremos que ( RR ; . ) esun espacio vectorial
Siendo la suma usual de matrices
. el producto de un escalar por una matriz
La demostración se dará en clase.

FUNCIÓN TRASPOSICIÓN



Propiedades de la trasposición:

P.1) La traspuesta de la traspuesta de una matriz es la misma matriz:P.2) La traspuesta de la suma es igual a la suma de las traspuestas

P.3) La traspuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por la traspuesta de la matriz

PRODUCTO DE MATRICES

Veamos primero el producto de una matriz fila por una matriz columna con igualcantidad de elementos

A . B =
Definición de Producto de Matrices


donde el elemento

Vemos que el elemento de la matriz C ubicado en la fila i, columna j se obtiene como el producto de la matriz fila i de A por la matriz columna j de B.
El producto A.B estadefinido si y sólo si la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B.
Podemos escribir el producto de la siguiente forma:


Propiedades del producto de matrices

Asociativa:



Distributiva respecto de la suma:Elemento neutro para el producto de matrices cuadradas:



Otra propiedad de la trasposición
P.4) La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas permutado


MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR...