Matrices

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La Parábola

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular ala directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
Ecuación analítica de la parábola:
Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ

Elevandoal cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y – q)
Desarrollando la ecuación tendremos:   x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq 
Obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2.
Observación: es de destacar que eltérmino x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.

La Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos,es una constante (se representa por 2aLa recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal ala distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto).
Una hipérbola es un conjunto de puntos P=(x, y) para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
Ecuación analítica de la hipérbola:
Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F =(c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x.  Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a estaexpresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:


Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos:  A = b2
B = – a2  
C = – 2pb2
D =  2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
Tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué seriguales.

Elipse:
Un elipse es el conjunto de puntos (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.


Ecuación analítica de la elipse:
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0)  y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el...