Matrices

En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría dematrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de laslíneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si sondel mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar alos elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es unamatriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una solafila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
[editar] Ejemplo
Dada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento o es el 7.
La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
[editar] Operacionesbásicas
[editar] Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

[editar] Propiedades
* Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)
*Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A
* Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
* Existencia de matriz opuesta
con gr-A = [-aij]
A + (-A) = 0
[editar] Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
[editar] Ejemplo

[editar] PropiedadesSean A y B matrices y c y d escalares.
* Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
* Asociatividad: (cd)A = c(dA)
* Elemento Neutro: 1·A = A
* Distributividad:
* De escalar: c(A+B) = cA+cB
* De matriz: (c+d)A = cA+dA
[editar] Producto

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB....