matrices

MATRICES Y DETERMINANTES
1 DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números, a los que se les conoce como elementos de la matriz. A continuación se muestran ejemplos de matrices:

Las matrices se clasifican en función del número de renglones y columnas. Las matrices que se mostraron anteriormente son de 2 × 2, 3 × 2, 3 × 1 y 2 × 3, siendo el primer número una indicacióndel número de renglones y el segundo, el número de columnas. Cuando la matriz tiene el mismo número de renglones y de columnas, se trata de una matriz cuadrada.

La matriz A es una de m × n. Los elementos de una matriz A tienen sufijo doble, donde el primer número indica el renglón y el segundo número la columna en los que se encuentra el elemento. La forma genérica para expresar un elemento enuna matriz es aij. La matriz A puede expresarse como [aij].
2 OPERACIONES CON MATRICES
Si una matriz A y otra B son del mismo tamaño, es decir, tienen el mismo número de renglones que de columnas, y sus elementos son de las formas aij y bij respectivamente, entonces la suma A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] = [cij] = C para toda i y j.

EJEMPLO 1
Encuentre la suma de

A la matriz−A se llama la opuesta de A y cada elemento de la matriz −A es el opuesto del elemento correspondiente de la matriz A.

La multiplicación de una matriz por un escalar (número real) da como resultado otra matriz en la que cada elemento aparece multiplicado por el escalar.

EJEMPLO 2

El producto AB donde A es una matriz m × p y B es una matriz p × n es C, la cual es una matriz de m × n. Loselementos cij de una matriz C se calculan por medio de la fórmula cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ··· +aipbpj.



EJEMPLO 3
Encuentre el producto AB cuando
.



EJEMPLO 4
Encuentre los productos CD y DC cuando
.



En el ejemplo 4, observe que a pesar de que tanto el producto CD como el DC existen, CD ≠ DC. Por lo tanto, la multiplicación de las matrices no es conmutativa.
Lamatriz identidad es una de n × n cuyos elementos son 1 cuando los números de renglón y columna son iguales y son 0 en cualquier otro lado. Una matriz identidad de n × n se expresa como In.
Por ejemplo,
.
Si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo tamaño que A, entonces AI = IA = A.
Para , se utiliza

3 OPERACIONES ELEMENTALES CON RENGLONES
Se dice que dos matricesson equivalentes en cuanto a sus renglones si una puede obtenerse a partir de la otra mediante una secuencia de operaciones de renglón elementales.
Operaciones de renglón elementales
1. Intercambio de dos renglones.
2. Multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero.
3. Suma de un múltiplo de un renglón con otro renglón.
Se dice que una matriz está en forma reducida en escalónsi posee las propiedades siguientes:
1. Todos los renglones que estén formados totalmente por ceros están en la parte inferior de la matriz.
2. El primer número diferente de cero en cualquier renglón, cuyos elementos no todos son cero, es 1, al cual se le llama 1 delantero.
3. En dos renglones sucesivos diferentes de cero, el 1 delantero que está en el renglón superior se encuentra más a laizquierda que el 1 delantero en el renglón inferior.
4. Las columnas que tengan un 1 delantero, tendrán ceros en posiciones alternadas en la columna.

EJEMPLO 5
Utilice las operaciones elementales de renglón para colocar la matriz A en forma reducida en escalón cuando,

˜ es el símbolo que se utiliza entre dos matrices para indicar que son equivalentes en cuanto a sus renglones.
El símboloR2 al frente de una matriz significa que el renglón que sigue fue el renglón 2 en la matriz anterior.
R3 − 3R1 al frente de una matriz significa que el renglón siguiente se obtuvo a partir de la matriz anterior restándole 3 veces el renglón 1 del 3.

La forma reducida en escalón de la matriz
4 INVERSA DE UNA MATRIZ
Una matriz cuadrada A tiene una inversa si existe una matriz A-1 tal que...