Matrices
Páginas: 21 (5075 palabras)
Publicado: 5 de febrero de 2014
Tema 7 Matrices y determinantes.
7.1.
Matrices.
Definici´n 7.1 Una matriz real de orden m × n es una
o
a
a12 · · ·
11
a21 a22 · · ·
A= .
.
.
..
.
.
.
.
am1 am2 · · ·
tabla ordenada de m × n n´meros reales
u
a1n
a2n
.
.
.
amn
en la cual las l´neas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas.
ı
NotaEn la matriz A el elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por aij , indicando
el primer sub´
ındice la fila en la que est´ situado y el segundo la columna.
a
Nota Una matriz gen´rica se denota por A = (aij )m,n ´ A = (aij ) y el conjunto de todas las
e
i,j=1 o
matrices reales de orden m × n se denota por Mm×n (R).
Nota Dos matrices son iguales si son del mismo orden y loselementos correspondientes son iguales.
Nota Las matrices de orden 1 × n reciben el nombre de matrices fila y las de orden m × 1 el de
matrices columna (los vectores son matrices columna).
Ejemplo 7.1
(
1 −1 2 0
)
Matriz fila de orden 4
2
0
1
(2, 0, 1)
Matriz columna de orden 3 o vector
Vector como n-tupla
u
Nota Las matrices con el mismon´mero de filas que columnas (m = n) reciben el nombre de matrices cuadradas de orden n y en ellas los elementos a11 , a22 , · · · , ann forman la diagonal principal.
Ejemplo 7.2 Matriz cuadrada de orden 3 en la que
3 −1
2 1/2
4 0
la diagonal principal est´ formada por 3, 1/2, 1:
a
0
5
1
´
´
BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL BASICA Y TEOR´ DE MATRICES
IA
2Ejemplo 7.3 Una empresa posee 3 tiendas en las que se venden 4 productos. Las unidades de cada
uno de los 4 productos que la primera tienda tiene en existencia son 30, 20, 20 y 0; las de la segunda
son 20, 30, 0 y 40; y las de la tercera son 10, 50, 20 y 20. Las existencias en cada tienda se pueden
expresar mediante una tabla ordenada de 3 × 4 n´meros distribuidos en 3 filas y 4 columnas:
uP1 P2 P3 P4
T1 30 20 20
0
T2 20 30
40
0
T3 10 50 20 20
N´tese que en esta tabla a14 = 0 indica que la primera tienda no tiene existencias del cuarto producto
o
♣
y a23 = 0 que la segunda no tiene existencias del tercero.
Ejemplo 7.4 (Tabla Input-Output) Si se divide el sistema econ´mico de un territorio en n sectores
o
productivos y se representa por xi,j el valor enunidades monetarias de las ventas efectuadas por el
sector i al sector j se obtiene una matriz que representa las interacciones entre los n sectores.
1
2
...
j
...
n
1 x1,1 x1,2 . . . x1,j . . . x1,n
2 x2,1 x2,2 . . . x2,j . . . x2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
.
.
.
xi,1
.
.
.
xi,2 . . . xi,j
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .xi,n
.
.
.
.
.
.
n xn,1 xn,2 . . . xn,j . . . xn,n
En esta matriz contabilizamos por filas los bienes y servicios vendidos por cada sector (outputs) y
por columnas los bienes y servicios adquiridos (inputs). Cada xi,i de la diagonal principal representa
el valor de los productos del sector i que utiliza el propio sector i en su producci´n.
o
7.2.
Operaciones con matrices.Definici´n 7.2 (Suma de matrices) Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R)
o
La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m × n:
A + B = (aij + bij )m,n .
i,j=1
♣
MATRICES Y DETERMINANTES
3
Nota La suma de matrices de ordenes distintos no est´ definida.
a
Ejemplo 7.5
1
2 0
0 1 4
1+0
2+1 0+4
1 3 4
B =
=⇒A + B =
=
♣
A =
3 −1 2
2 3 −23 + 2 −1 + 3 2 − 2
5 2 0
Ejemplo 7.6 La compa˜´ Refresquillos S. A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos pa´
nıa
ıses.
Las ventas en miles de litros durante los cuatro trimestres del a˜o 2005 vienen dadas por las matrices:
n
A
cola
lim´n
o
naranja
B
cola
lim´n
o
naranja
Espa˜a
n
108
25
12
Espa˜a
n
245
61
32
Portugal
9...
7.1.
Matrices.
Definici´n 7.1 Una matriz real de orden m × n es una
o
a
a12 · · ·
11
a21 a22 · · ·
A= .
.
.
..
.
.
.
.
am1 am2 · · ·
tabla ordenada de m × n n´meros reales
u
a1n
a2n
.
.
.
amn
en la cual las l´neas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas.
ı
NotaEn la matriz A el elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por aij , indicando
el primer sub´
ındice la fila en la que est´ situado y el segundo la columna.
a
Nota Una matriz gen´rica se denota por A = (aij )m,n ´ A = (aij ) y el conjunto de todas las
e
i,j=1 o
matrices reales de orden m × n se denota por Mm×n (R).
Nota Dos matrices son iguales si son del mismo orden y loselementos correspondientes son iguales.
Nota Las matrices de orden 1 × n reciben el nombre de matrices fila y las de orden m × 1 el de
matrices columna (los vectores son matrices columna).
Ejemplo 7.1
(
1 −1 2 0
)
Matriz fila de orden 4
2
0
1
(2, 0, 1)
Matriz columna de orden 3 o vector
Vector como n-tupla
u
Nota Las matrices con el mismon´mero de filas que columnas (m = n) reciben el nombre de matrices cuadradas de orden n y en ellas los elementos a11 , a22 , · · · , ann forman la diagonal principal.
Ejemplo 7.2 Matriz cuadrada de orden 3 en la que
3 −1
2 1/2
4 0
la diagonal principal est´ formada por 3, 1/2, 1:
a
0
5
1
´
´
BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL BASICA Y TEOR´ DE MATRICES
IA
2Ejemplo 7.3 Una empresa posee 3 tiendas en las que se venden 4 productos. Las unidades de cada
uno de los 4 productos que la primera tienda tiene en existencia son 30, 20, 20 y 0; las de la segunda
son 20, 30, 0 y 40; y las de la tercera son 10, 50, 20 y 20. Las existencias en cada tienda se pueden
expresar mediante una tabla ordenada de 3 × 4 n´meros distribuidos en 3 filas y 4 columnas:
uP1 P2 P3 P4
T1 30 20 20
0
T2 20 30
40
0
T3 10 50 20 20
N´tese que en esta tabla a14 = 0 indica que la primera tienda no tiene existencias del cuarto producto
o
♣
y a23 = 0 que la segunda no tiene existencias del tercero.
Ejemplo 7.4 (Tabla Input-Output) Si se divide el sistema econ´mico de un territorio en n sectores
o
productivos y se representa por xi,j el valor enunidades monetarias de las ventas efectuadas por el
sector i al sector j se obtiene una matriz que representa las interacciones entre los n sectores.
1
2
...
j
...
n
1 x1,1 x1,2 . . . x1,j . . . x1,n
2 x2,1 x2,2 . . . x2,j . . . x2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
i
.
.
.
xi,1
.
.
.
xi,2 . . . xi,j
.
.
.
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.
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. . .xi,n
.
.
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.
n xn,1 xn,2 . . . xn,j . . . xn,n
En esta matriz contabilizamos por filas los bienes y servicios vendidos por cada sector (outputs) y
por columnas los bienes y servicios adquiridos (inputs). Cada xi,i de la diagonal principal representa
el valor de los productos del sector i que utiliza el propio sector i en su producci´n.
o
7.2.
Operaciones con matrices.Definici´n 7.2 (Suma de matrices) Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R)
o
La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m × n:
A + B = (aij + bij )m,n .
i,j=1
♣
MATRICES Y DETERMINANTES
3
Nota La suma de matrices de ordenes distintos no est´ definida.
a
Ejemplo 7.5
1
2 0
0 1 4
1+0
2+1 0+4
1 3 4
B =
=⇒A + B =
=
♣
A =
3 −1 2
2 3 −23 + 2 −1 + 3 2 − 2
5 2 0
Ejemplo 7.6 La compa˜´ Refresquillos S. A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos pa´
nıa
ıses.
Las ventas en miles de litros durante los cuatro trimestres del a˜o 2005 vienen dadas por las matrices:
n
A
cola
lim´n
o
naranja
B
cola
lim´n
o
naranja
Espa˜a
n
108
25
12
Espa˜a
n
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32
Portugal
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