Matrices

Tema 2

Matrices, Sistemas y Determinantes.
2.1

Matrices.

2.1.1

Definiciones b´sicas.
a

Una matriz es una tabla rectangular de n´meros, es decir, una distribuci´n ordenada de
u
o
n´meros. Los n´meros de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz.
u
u
El tama˜ o de una matriz se describe especificando el n´mero de filas y columnas que la forn
u
man. Si A esuna matriz de m filas y n columnas, Am×n , se usar´ aij para denotar el elemento
a
de la fila i y la columna j y, en general, se representar´ por
a


A = (aij ) 1≤i≤m = (aij )m×n
1≤j≤n

a11 a12

 a21 a22
= .
.
 .
.
.
 .
am1 am2

· · · a1n
· · · a2n
.
··· .
.




.



· · · amn

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tama˜o y los elementoscorresponn
dientes en ambas matrices son iguales.
Una matriz An×n (´ An ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de
o
la matriz a11 , a22 , ..., ann se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A1×n se
dice que es una matriz fila y de una matriz Am×1 que es una matriz columna.

2.1.2

Operaciones con las matrices.

Suma: Si A y B son dos matrices del mismotama˜o, m × n, la suma A + B es otra matriz de
n
tama˜o m × n donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el
n
elmento ij de B . Es decir, si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n , entonces A + B = (aij + bij )m×n .
El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz
opuesta de A, se designa por −A, y es −A = (−aij )m×n .
Producto porescalares: Si A es una matriz m × n y k ∈ IR un escalar, el producto kA es
otra matriz del mismo tama˜o donde cada elemento de A aparece multiplicado por k . Es decir,
n
kA = (kaij )m×n .
Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz de tama˜o m × p
n
tal que, el elemento ij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i
de A por el elementocorrespondiente de la columna j de B . Es decir,


cij =

FiA

×

B
Cj

=

ai1 ai2 · · · ain







b1j
b2j
.
.
.
bnj



n

 = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj =
aik bkj


k=1

B
(lo denotaremos por cij = FiA ×Cj cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).

Preliminares.

16

2.2 Lenguaje matricial de los sistemas deecuaciones.


1

0
La matriz cuadrada I = In =  .
 .
 .

0
1
.
.
.

···
···
..
.



0
0

.  , formada por ceros excepto en la diagonal
.
.

0 0 ··· 1
principal que tiene unos, de llama matriz identidad y verifica que para toda Am×n se tiene
que Im Am×n = Am×n y Am×n In = Am×n . Es decir, es el neutro del producto de matrices.
Observaci´n:
o
La definici´n dada deproducto de matrices requiere que el n´mero de columnas de la primera
o
u
matriz, A, sea igual que el n´mero de filas de la segunda matriz, B , puesto que para el c´lculo
u
a
de cij ha de haber tantos elementos en la fila i (n´mero de columnas de A) como en la columna
u
j (n´mero de filas de B ). En forma sin´ptica con los tama˜os (m × n) · (n × p) = (m × p).
u
o
n
Propiedades de lasoperaciones 2.1 –
a) A + B = B + A

(conmutativa de la suma).

b) A + (B + C) = (A + B) + C
c) A(BC) = (AB)C

(asociativa de la suma).

(asociativa del producto).

d) A(B + C) = AB + AC

(distributiva por la izquierda).

e) (A + B)C = AC + BC

(distributiva por la derecha).

f) a(B + C) = aB + aC ; ∀a ∈ IR.
g) (a + b)C = aC + bC ; ∀a, b ∈ IR.
h) a(BC) = (aB)C = B(aC); ∀a ∈ IR.
•AB = BA
En general, NO es cierto que: • Si AB = AC necesariamente sea B = C
• Si AB = 0 necesariamente sea A = 0 ´ B = 0
o
Ejemplo 2.2 – Con A =
0 0
0 17
= BA =
0 0
0 0
AC = 0 = AB y B = C .

2.2

0 1
0 2

, B =

3 7
0 0

y C =

−1 −1
0 0

obtenemos que AB =

es decir AB = BA y AB = 0 con A = 0 y B = 0. Adem´s
a

Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones....