matrices

PROBLEMA (UNI)V
Sea A una matriz simétrica no singular. Si se conoce que:
Adj A = , hallar la matriz A

SOLUCION:

Sabemos que : Si A es simétrica→ A⁻¹ es simétrica
→ Adj A es simétrica.

Luego : x = y = z = 1 ; r = s = q = -1

Adj A =, además sabemos que:

A⁻¹ = Adj A , tomando inversas:

(A⁻¹)⁻¹ = ( Adj A)⁻¹

Por propiedad : (B⁻¹)⁻¹ = B ; (kB)⁻¹ = B⁻¹

Luego : A = (AdjA)⁻¹ ……………………………………………….. (α)

Calculo de :

Aplicando determinante en : A⁻¹ = Adj A ,

Se tiene : A⁻¹ = Adj A

Por propiedad : = ; = kⁿ ,

Dónde: A es una matriz cuadrada de orden n.

Luego : = = ()⁴

→³ = ……………………………………..(1)







Calculando el determinante de la matriz adjunta se tiene:


== -

En (1) : = -

Calculo de (Adj A)⁻¹ : mediante operaciones elementales en la matriz aumentada:

(Adj A = I) → (I =Adj A)⁻¹

˷f₄ : (f₄ - f₃) / (-2)




f₁ : f₁ - f₃

Reemplazando los valores en (α)

A = -


PROBLEMA (UNI)

a) Hallar todas las matrices de orden 2 que conmutan conb) Si (I –A) es una matriz no singular; demostrar que si A es anti simétrica
→ (I – A) es también no singular.


SOLUCION:

a) Sea :
A = y B = conmutable con A.

Porcondición del problema: AB = BA,

Entonces :

=

De donde :
a = a , b = a - d , d = d , c = 0

Por lo tanto :
B = a,d ε R

b) Si ( I – A ) es no singular→ ≠ 0 …………………………(1)
Por dato A es anti simétrica → A = - , luego

En (1): = =

= = ≠ 0

Por lo tanto : (I + A) es no singular …………… lqqd....