MATRICES

MATEMATICA INTEGRADA

Unidad 4
I Matrices cuadradas de orden dos M2 sobre el Campo R (de números reales).

Sean a11, a12, a21 y a22 números reales ( R ), componentes de la matriz cuadrada A tales que:

A =


Si las componentes de de la matriz A son los aij , i es el subíndice que señala el número de filas de la matriz y j el subíndice que señala el número de columnasAsí, como ejemplos veamos: a11 es la componente que está en la primera fila y primera columna y a21 es la componente que esta en la segunda fila y primera columna. Por esta razón.

En forma compactada: la matriz A se puede representar así:

A = aij tales que: i = 1.2, j = 1,2  A =


También podemos observar que a11, a12 son las componentes de la primera fila
Y que a21, a22 sonlas componentes de la segunda. Por otra parte a11, a21 son las componentes de la primera columna y a12, a22 las componentes de la segunda.

Si se trata de una matriz B de M2 escribiremos:

B = donde los bij  IR tales que: i = 1.2, j = 1,2


Si deseáramos representar a una matriz: A = aij tales que: i = 1.2,3, j = 1,2,3, entonces será una matriz cuadrada A de orden M3 ,tal como:

A =.

Como hemos visto las Matrices lo notaremos por letras Mayúsculas negritas: A, B, C, . . . y las componentes con letras minúsculas generalmente con subíndices tales como: a11, b21, c22, . . .pertenecientes a R.
Hemos visto también que A se puede escribir como aij,
que B se puede escribir como bij, etc. i y j tomaránvalores naturales de acuerdo al orden de la matriz.

La diagonal principal de una matriz cuadrada esta formada por todas las componentes aij donde i = j así la diagonal principal estará formada por a11, a22, a33 , . . . , ann y la llamada diagonal secundaria por an1, a(n-1)2, a(n-2)3 , . . . , a1n

A =; Por ejemplo si P =

La diagonal principal estará compuesta por : 1, 4, -3 y 2 y ladiagonal llamada secundaria por : 5, 5, 0 y -1

7.2. Igualdad de Matrices.

Componentes correspondientes.-Sean A y B dos matrices de M2 se dice que dos componentes de A y de B son correspondientes si ocupan la misma posición, es decir son correspondientes, si sus subíndices son los mismos: aij corresponde a bij sí y sólo sí i de a es igual i de b y j de a es igual a j de b.Ejemplos: a12 y b12, son correspondientes; igualmente a22 y b22 son correspondientes.

Se dice que dos matrices A y B son iguales si sus componentes correspondientes son los mismos. Así:

A = y B = son iguales si:


Ejemplo:

Si A = y B =  A = B

La igualdad de matrices es una relación de equivalencia, por tanto es: reflexiva, simétrica y transitiva, así:
Sea R unarelación de igualdad definida en (M2)2
i. Reflexiva:  A de M2  (A, A)  R. (A = A)
ii. Simétrica: :  A de M2 y  B de M2 : (A, B)  R  (B, A)  R
(A = B  B = A)
iii. Transitiva:  A de M2 ,  B de M2 y  C de M2 : (A, B)  R  (B, C)  R  ( A, C) R. ( Si : A = B  B = C  A = C )
Cuando dos matrices A y B no son iguales escribiremos A  B.Observemos que si A  B entonces existe al menos una componente de A que no es igual a una componente correspondiente de B

7.3 Suma y Diferencia de matrices:
4.1 Se dice que dos matrices A y B son “sumables” si son del mismo orden
En consecuencia dos matrices de M2 siempre serán sumables.

A + B = + =

Ejemplo:
Sean: A = y sea B =  A + B =
4.2 Propiedades:Sean A, B, C matrices del mismo orden:
i. A + B = B + A Conmutatividad.
ii A + (B + C) = (A + B) + C. Asociatividad.
iii  A de M2 ,  0 de M2 / A + 0 = 0 + A = A
Haciendo uso de la definición de matrices de M2 se tiene que
La matriz 0 =

iv  A de M2,  -A de M2 / A + (-A) = 0
(La matriz negativa de la matriz A es -A = (-1) A. )...