Matrices

III) MATRIZ DE IDENTIDAD:
I; i= j 0; i ≠ j
000



I; i= j 0; i ≠ j
000



Es una matriz cuadrada de orden n denotada por I o In cuyos elementos de su diagonal principal son todos iguales a uno y los elementos fuera de la diagonal principal son todos iguales a cero.
I = In = [aij] nxn, donde: aij =

1 0 0 … 0
0 1 0 …0
0 0 1 … 0

0 0 0 …. 1

1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
0 0 1 … 0

0 0 0 …. 1

Es decir

I = In =
I = In =

.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.

Ejemplos:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

1 0
0 1

1 0
0 1

I1 = (1) , I2=, I3=

IV) MATRIZ TRIANGULAR:
Es aquella donde todos los elementos a un lado de la diagonal principal son ceros y al lado opuesto al menos uno no es cero.

EJEMPLO:

8 -2 12
21 4
0
8 -2 12
21 4
0
0
0
0
0
-2
0 4
11 -2 8
-2
0 4
11-2 8

0
0
0
0
A = B =
0
0
0
0

Triangular
Superior

Triangular
Superior

Triangular
Inferior

Triangular
Inferior



A
A
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada a = (aij) nxn es triangular superior si aij = 0, iii > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal sonceros.

EJEMPLOS:
4 5 3
0 1 -9
0 0 2
4 5 3
0 1 -9
0 0 2
1 -1
0 2
2 -1
0 2

A = ; B =

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
A
A
Es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir: A = (aij)n es una matriz triangular inferior.Si: aij = 0; i < j
5 0 0
0 2 0
7 1 6
5 0 0
0 2 0
7 1 6
1 0
2 4
1 0
2 4
EJEMPLOS:
A = ; B =

V) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ:
La transpuesta de una matriz A; se denota por At se define como aquella matriz construida a partir de la matriz A, intercambiando sus filas por susrespectivas columnas, conservando todos sus elementos.
A
A
A = [aij] mxn At = [Aij] nxm; {I; j}
A = [aij] mxn At = [Aij] nxm; {I; j}


OBSERVACIÓN:
Si la matriz “A” es de orden mxn, su transpuesta (At) será de orden nxm.
RESOLUCIÓN:
2 3
5 4
-1 6
2 3
5 4
-1 6
2 5 -1
3 4 6

2 5 -1
3 46


* Sea: A = At =

2 x 3
-1 2 -1
3 y x
2 x 3
-1 2 -1
3 y x
2 -1 3
x 2 y
3 -1 x
2 -1 3
x 2 y
3 -1 x

* Si: A = At =
PROPIEDADES:
1) ( A + B)t = At +Bt
2) (At)t = A
3) (kA)t = kAt / k es escalar
4) (AB)t = Bt At
5) Traza A = Traza At
IV) MATRIZ SIMÈTRICA:
Una matriz cuadrada A= (aij) nxn es simétrica si aij = aji, esto es, los elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son iguales.
OBSERVACION:
Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simétrica
Si: A = - At → A es simétrica
7 3 23 -1 4
2 4 -5
7 3 2
3 -1 4
2 4 -5
7 3 2
3 -1 4
2 4 -5
7 3 2
3 -1 4
2 4 -5
EJEMPLO:

A = At =

Espejo
Como A = At → “A” es simétrica
A
A...