Matrices

QUE ES UNA MATRIZ
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices seutilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto claveen el campo del álgebra lineal.
PRODUCTO DE UN ESCALAR
Sean  y . Se define la operación de producto por un escalar como una función  tal que  y donde  en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada  es igual al producto .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea  y 

También es inmediato observar que el producto por un escalar da comoresultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. Acontinuación se presentan las propiedades.
IGUALDAD DE MATRIZES
En muchas ocasiones encontrarás matrices formadas con los mismos elementos pero dispuestos en diferentes posiciones, como en el caso de las siguientes matrices:

También tropezarás con matrices de igual tamaño pero los elementos que están en la misma posición; es decir, en la misma fila y columna tienen valores distintos, como porejemplo:

En ambos casos, las matrices no son iguales a pesar de poseer los mismos elementos y a veces el mismo tamaño.

SUMA O ADICION DE MATRIZES
Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria  tal que  y donde  en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es iguala la suma de los elementos  y  lo cual es .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea 

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutroaditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz.
PRODUCTO DE MATRICES 
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de lasegunda.  
Es decir, si tenemos una matriz 2 ´ 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ´ 5, la matriz resultante será de orden 2 ´ 5.  
(2 ´ 3) ´ (3 ´ 5) = (2 ´ 5)  
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.  
3 ´ 5   por   2 ´ 3,
puesto que laprimera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.  
Supongamos que A = (ai j   ) y B = (bi j  ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m ´ p y B una matriz p ´ n. Entonces el producto AB es la matriz m ´ n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.  
Esto es,...