Matrices

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MATRICES Y DETERMINANTES
1.- Dadas las matrices:
 1 -1 0 
 2 -1 1 
 2 -1 






2
1
1


A =  3 0 - 1  B =  0 3 - 1  C = 
 D =  0 1 






 3 1 1
1
3
2
1
2
0
1
1






Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A +
A ; l) B2-A.B
2

Soluciones:
 - 3/2 1 - 1/2 
 1/3 1/3 - 1/3 
2 -4 2





-1
-1
=

5/2
1
1/2

=

1/6
1/6
1/3

A.B
=
 7 -5 3
A
B





1
 - 9/2 2 - 3/2 
 1/2 - 1/2
 4 4 -2
 0 1 -1

B.A =  8 - 3 - 1

 5 1 -2


 7 -5 2


 3A + 2B =  9 6 - 5



 1 13 - 6

 5 -1 1 
 3 -2
C.B = 
 C.D = 
5 2 2
 7 -1



4
 C.A= 

7


1

0 -3 

-5

 -2 -1 1 
 3 -3 3 



 2 
2
 A =  2 - 6 2  B =  1 7 - 3





2
7
3
 8 -7 1 



1
 1 -4
 1 1 1




3A + A2 =  11 - 6 - 1  B2 - A.B =  - 6 12 - 6 




3 - 1 
 -6
 11 2 - 5 
2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA
 1 0 1


A =  2 1 1


 1 1 0
Solución:







2 1 2


B =  1 0 1


 0 2 1

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3 1 3 
 2 1 1
- 1 - 1 - 1
5 6 7







A+ B =  3 1 2  A2 =  5 2 3  A - B =  1 1 0  B 2 =  2 3 3 








1
3
1
3
1
2
1
1
1
2
2
3









 2 3 3


A.B =  5 4 6 


3
1
3



3.- Halla AX = B donde:
 1 1
A = 

 0 1

 1 1 0
B = 

 - 1 0 1

 2 1 - 1
Sol : 

 - 1 0 1

1
4.- Demostrar que A satisface la relación de recurrencia An = 2n-1 A. A = 
1
5.- Halla eldeterminante de A y su inversa:
1/4
0
 1 -1 0 1 




 2 1 -1 2 
 - 19/32 1/4
A= 
A = - 32
A- 1 = 

 0 1 2 1
 7/32 - 1/4



 3 1 0 -1 
 5/32 1/4

1

1
1/4 

1/8 1/32 

3/8 3/32 

1/8 - 7/32 
0

6.- Aplicando la función de la matriz inversa. Calcula la inversa de la matriz A. Comprueba
el resultado.
 0 0 2
 3 1 - 2




A=  - 1 2 0 
Sol : A-1 =  3/2 1 - 1 



 - 1 1 3
 1/2 0 0 
7.- Dadas las matrices siguientes. Calcula la potencia enésima.





1 0 0
1 0 0




A=  1 1 0 
Sol : An = 
n 1 0




 2

0 1 1
 n - n n 1 
 2






1 0 0
1 0 0




B= 1 1 0 
Sol : B n = 
n 1 0




 2

1 1 1
 n + n + 1 n 1 

2


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 1 n n2 - n 


2 



Sol : C n =  0 1
n
0 01




 1 0 0


Sol : Dn =  0 1 0 


n 0 1
 2 n -1 0 2 n -1 


Sol : E n =  0 1
0


 2 n -1 0 2 n -1 



 1 1 0


C= 0 1 1 


 0 0 1
1 0 0


D=  0 1 0 


 1 0 1
 1 0 1


E= 0 1 0 


 1 0 1
0 0 1


F = 0 1 0 


 1 0 0

n par F n = I
Sol : 
n impar F n = F

8.- Calcula los siguientes determinantes de orden 3:
1 1 -2
2 01
1 0 -1
2 1

-1

1 3

1

1 1 -1

1 2

2

2

1

3

1 = 0 b) 2

Sol: -9; 7; -4

1 -3

9.- Hallar la solución de la ecuación:
1 1 1
1 2 4
a) 1 x

1

1 1 -1

x 8 = 0 c) 2

3 6 x
1 1 x2
Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2

3

1

3 =0

x

2

10.- Resolver aplicando las propiedades de los determinantes:
a b c
a
b c
a b c
a) a

x c = 0 b) 2a

x 2c = 0 c) 2a

x 2c = 0

2
a b x
x -b -c
a ab x
Sol: x =b; x = c; b) x = b/2; x = ac; c) x = -a; x = 2b; d) x=a; x=-c

a

b

d) - a - b
x

b

c
x =0
c

11.- Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante B:
a b c
2a 2c 2b
A= x

y

z

α β γ

B = 2α 2γ

2β

2x

2y

2z

12.- Demostrar que el determinante vale 0

Sol: B = 8A

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1 a

b +c

1 b

a +c = 0

1 c a+ b
13.- Calcular:
1 -1 2 0
1 -1

1

0-1

2

-1

2 0

1

2

1

3 -1

-1

1 0

2

1 1

0

2

1

1

0

-1

2

0 -2

1

1

2

2 -2

1

0

1

2

0

1 -1 2 - 2

-1

Sol: 21; -5; -14

14.- Sin desarrollar demostrar la identidad:
1 a 2 a3
bc a a2
1 b 2 b3 = ca b

b2

1 c2

c2

c3

ab

c

15.- Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B,
siendo
 2 1 -1 
 1 -1 0 




A=  0 1 1  B =  0 1 1 ...