Matriz De Una Transformacion

Matriz de una Transformaci´n Lineal o
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 9 de febrero de 2011

´ Indice
28.1. Matriz de una Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 28.2. Toda transformaci´n Lineal es Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 28.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

28.1.

Matriz de una Transformaci´n Lineal o

Sea T : V → W una transformaci´n lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. o Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y B = {v1 , . . . , vn } una base de W . La matriz A m × n cuyas columnas son: [T (v1 )]B , . . . , [T (vn )]B es la unica matriz que satisface ´ [T (v)]B= A[v]B para todo v ∈ V . Definici´n 28.1 o La matriz A de la afirmaci´n anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B . o Si V = W y B = B , A se llama matriz de T con respecto a B. Ejemplo 28.1 Suponga que T : R3 → R3             0 0  0 0   1  1 B =  0 ,  1 ,  0  , B =  0 ,  1 ,  0  ,     0 0 1 0 0 1 y que [T ]B B Determine  −3 0 2 =  −3 3 3  −1 3 2 3 T  −1  −4  

Soluci´n o Tenemos que la matriz [T ]B cumple [T (v)]B = [T ]B [v]B . Si B B hacemos:    1 0 0 3 [B|v] =  0 1 0 −1  →  0 0 1 −4

v =< 3, −1, −4 >, entonces para obtener [v]B  3 1 0 0 0 1 0 −1  0 0 1 −4

Por tanto, [v]B =< 3, −1, −4 > y de all´ que ı       −3 0 2 3 −17 [T (v)]B =  −3 3 3  ·  −1  =  −24  −1 3 2 −4 −14 Por tanto,        1 0 0 −17 T(v) = −17 0  − 24 1  − 14 0  =  −24  0 0 1 −14 Ejemplo 28.2 Suponga que   B=   y que [T ]B B Si  −5 −4 1 4  =  1 −2 0 −4 −3  4 [x]B =  0  −1   T : R3 → R3        0 3 2  4 4   4 2  ,  −2  ,  0  , B =  2  ,  5  ,  0  ,    −5 0 −5 3 3 −2     

Determine [T (x)]B . Soluci´n o Directamente de la definici´n de [T ]B : o B [T (x)]B = [T ]B [x]B B    −5 −4 1 4 4 · 0  =  1 −2 −1  0 −4 −3  −21 0  =  3

Ejemplo 28.3 Suponga que T : R3 → R3             4 −4  −5 2   −5  −1 B =  4  ,  5  ,  −4  , B =  −5  ,  5  ,  −1  ,     3 3 −1 −2 2 3 2

y que [T ]B B Si  5 −4 1 3 3  = 3 3 −1 0  

 3 [x]B =  −3  5

Determine T (x). Soluci´n o Directamente de la definici´n de [T ]B : o B [T (x)]B =[T ]B [x]B B     5 −4 1 3 3 3  ·  −3  =  3 5  3 −1 0  32 =  15  12

Por tanto,        −82 2 −5 −1 T (x) = 32 −5  + 15 5  + 12 −1  =  −97  2 3 2 −2  Ejemplo 28.4 Suponga que T : R3 → R3             −1 0  1 3 −4   1  B =  1  ,  −5  ,  0  , B =  −4  ,  −2  ,  1  ,     0 1 2 −2 −2 −2 y que
B [T ]B

 −1 0 0 =  4 −1 3  0 0 5  4 x = −2  0 



Si

Determine T (x). Soluci´n o Si x =< 4, −2, 0 >, entonces para obtener  1 [B|x] =  1 0

[x]B hacemos:    −1 0 4 1 0 0 11/2 −5 0 −2  →  0 1 0 3/2  1 2 0 0 0 1 −3/4

3

Por tanto, [x]B =< 11/2, 3/2, −3/4 > y de all´ que ı       −1 0 0 11/2 −11/2 [T (x)]B = [T ]B [x]B =  4 −1 3  ·  3/2  =  73/4  B 0 0 5 −3/4 −15/4 Por tanto,        1 3 −4 257/4T (x) = −11/2 −4  + 73/4 −2  − 15/4 1  =  −73/4  −2 −2 −2 −18 Notas Observe que si [B] representa la matriz cuyas columnas son los vectores de B: Para obtener [x]B dados B y x, se realiza el c´lculo [B]−1 x. a Para obtener y dados [y]B y B , se realiza [B ] · [y]B . Ejemplo 28.5 Suponga que T : R3 → R3 se define como    3x − 2z x T  y  =  x + y − z  5x + 4z z    B=             0  −3 4  −2 0  0 1  ,  −1  ,  4  , B =  1  ,  −4  ,  0  .    1 −4 1 −5 0 −5 se puede representar como:    x 3 0 −2 · y  1 1 −1 z 5 0 4 

y adem´s a

Determine la matriz [T ]B . Soluci´n o B Por las notas anteriores a este ejemplo y como tenemos que T      3x − 2z x T  y  =  x + y − z  =  z 5x + 4z De donde tenemos que [T ]B B...