matriz inversa

MATRIZ INVERSA
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que
A·B = B·A = I, siendo I la matriz identidad.
Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.
Ejemplo:
Supongamos y Entonces


Puesto que AB = BA = I,A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

CALCULO DE DETERMINANTES

METODO DE GAUSS
Veamos un método que a priori no nos garantiza que la matriz en cuestión sea inversible, sin embargo, en caso de que se pueda aplicar, nos dará la inversa sin hacer operaciones demasiado complicadas. Si la matriz no se puede invertir, llegaremos a una situación que nos lo indicará.
Elcálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que efectivamente se obtiene la matriz inversa.
En esencia, el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:1. Formar una matriz de orden nx2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n.

2. Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que precisamente será A-1.
El método consiste, pues, encolocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad.


Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad.
Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, salealguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible.

Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro en el que la matriz no es inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidir si haremos nuestras transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma que elijamos debe mantenerse a lo largo de todo el proceso de inversiónde la matriz.
Las transformaciones elementales son las siguientes: substituir una fila o columna de la matriz por ella misma multiplicada (o dividida) por un número, substituir una fila o columna de la matriz por una combinación lineal de filas o columnas de la matriz (si es fila, filas, y si es columna, columnas), e intercambiar filas o columnas.

Por simplicidad en la notación, c indicarácolumna (ej., 1ª c es 1ª columna) y f indicará fila (ej., 3ª f es
3ª fila).

Ejemplo 1:
Ver si es inversible o no y calcular (si se puede) la inversa de la siguiente matriz.

Planteamos, como hemos dicho, las dos matrices:

En primer lugar, por simplicidad en las operaciones, vamos a intercambiar las filas 2 y 3:

Hacemos 3ª f = 3ª f - 2·1ª f (y dejamos el resto igual):

Ahora 3ª f = 3ª f+ 4·2ª f (estos dos pasos se podrían haber resumido en una sola operación, 3ª f = 3ª f-2·1ª f + 3.2ª f, no se ha hecho por claridad al ser el primer paso):

Ahora hacemos 1ª f = (1ª f)/2 y 3ª f = (3ª f)/(-6):

Y, por último, hacemos la operación 1ª f = 1ª f - (3/2)· 2ª f - 2.3ª f:

Con lo que la inversa es:

Comprobémoslo:





Ejemplo 2:
Ver si es inversible y calcular (si esposible) la inversa de la matriz:

De nuevo, planteamos las dos matrices:

Hacemos 2ª f = 2ª f + 2.1ª f, 3ª f = 3ª f -3·1ª f:

Y ahora hacemos 3ª f = 3ª f + 2ª f:

Por mucho que queramos, al habernos aparecido una fila de ceros, ya no podremos obtener la matriz identidad. En cuanto nos sale una fila, o más (o columna/s, si es que trabajamos por columnas) de ceros, lo que nos está diciendo...