Matriz Simetrica

Matriz simétrica

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Matriz simétrica
Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta. Una matriz de elementos:

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m =n) y la simetría es respecto a la diagonal principal. Ejemplo para n = 3:

para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que

A es también la matriz traspuesta de sí misma:

. Estaúltima igualdad es una definición alternativa de

matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.

Propiedades
Uno de los teoremas básicos que concierneeste tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matrizortogonal.

Autovalores
Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales. Con base en las propiedades de los autovalores de una matrizsimétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos: • definida positiva: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos. • definida negativa: Unamatriz simétrica es definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos. • semidefinida positiva: Una matriz simétrica es semidefinida positiva si y solo si todos susautovalores son mayores o iguales a cero. • semidefinida negativa: Una matriz simétrica es semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero. • indefinida: Una matrizsimétrica es indefinida si y solo si tiene dos autovalores con distinto signo

Matriz simétrica

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Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
Sea A una matriz cuadrada, esta se puededescomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

donde la parte simétrica es

Fuentes y contribuyentes del artículo

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Fuentes y contribuyentes del artículo...